Задание 1371

Дано: \(\triangle ABC\), \(\vec{e}_1 = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\), \(\vec{e}_2 = \dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\). Доказать: \(\vec{e}_1 + \vec{e}_2\) направлен вдоль биссектрисы угла \(A\), \(\vec{e}_1 - \vec{e}_2\) — вдоль биссектрисы внешнего угла при \(A\).

1. Вектор \(\vec{e}_1 = \dfrac{1}{AB}\overrightarrow{AB}\) сонаправлен с \(\overrightarrow{AB}\) и имеет длину \(\dfrac{1}{AB} \cdot AB = 1\). Так же \(\vec{e}_2 \uparrow\uparrow \overrightarrow{AC}\), \(|\vec{e}_2| = 1\). Векторы \(\vec{e}_1\) и \(\vec{e}_2\) не коллинеарны, так как \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой.

2. Отложим от точки \(A\) векторы \(\overrightarrow{AK} = \vec{e}_1\) и \(\overrightarrow{AL} = \vec{e}_2\): точка \(K\) лежит на луче \(AB\), точка \(L\) — на луче \(AC\), \(AK = AL = 1\). Достроим параллелограмм \(AKML\). По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AM} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2\), а по правилу вычитания \(\overrightarrow{LK} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2\).

3. У параллелограмма \(AKML\) смежные стороны равны (\(AK = AL\)), значит, это ромб. Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому \(AM\) — биссектриса угла \(KAL\), то есть угла \(BAC\). Значит, \(\vec{e}_1 + \vec{e}_2\) направлен вдоль биссектрисы угла \(A\).

4. Диагонали ромба перпендикулярны: \(LK \perp AM\). Биссектрисы смежных углов (угла \(A\) и внешнего угла при \(A\)) перпендикулярны: их углы с общей стороной в сумме дают \(\dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ\). Через точку \(A\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(AM\), — это биссектриса внешнего угла. Ненулевой вектор \(\vec{e}_1 - \vec{e}_2 = \overrightarrow{LK}\) перпендикулярен \(AM\), значит, параллелен этой биссектрисе, то есть направлен вдоль неё.