Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1372

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Докажите: A, B, C лежат на одной прямой ⇔ есть числа k, l, m, не все нули, k + l + m = 0, и k·OA + l·OB + m·OC = 0 (векторы) для любой O.

Решение

Дано: точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ . Доказать: $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ лежат на одной прямой $\iff$ существуют числа $$k$$ , $$l$$ , $$m$$ , не все равные нулю, такие, что $$k + l + m = 0$$ и $k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = \vec{0}$ для любой точки $$O$$ .

(В учебнике в условии напечатано « $$k + 1 + m = 0$$ » — это опечатка, имеется в виду $$k + l + m = 0$$ .)

Необходимость. Пусть $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ лежат на одной прямой.

Если $$C = A$$ , возьмём $$k = 1$$ , $$l = 0$$ , $$m = -1$$ : сумма равна нулю, и $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ для любой $$O$$ .
Пусть $C \ne A$ . Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ лежат на одной прямой, $\overrightarrow{AC} \ne \vec{0}$ , поэтому по лемме о коллинеарных векторах $\overrightarrow{AB} = n\overrightarrow{AC}$ для некоторого числа $$n$$ .
Для любой точки $$O$$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ . Подставим:
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = n(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) \;\Rightarrow\; (n - 1)\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - n\overrightarrow{OC} = \vec{0}.$ Значит, подходят $$k = n - 1$$ , $$l = 1$$ , $$m = -n$$ : $$k + l + m = 0$$ , и $l \ne 0$ .

Достаточность. Пусть такие $$k$$ , $$l$$ , $$m$$ есть. Равенство верно для любой точки $$O$$ , возьмём $$O = A$$ . Тогда $\overrightarrow{OA} = \vec{0}$ и $l\overrightarrow{AB} + m\overrightarrow{AC} = \vec{0}$ .

Если $l \ne 0$ , то $\overrightarrow{AB} = -\dfrac{m}{l}\overrightarrow{AC}$ . Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны и имеют общее начало $$A$$ , значит, точки $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой с $$A$$ (если $\overrightarrow{AC} = \vec{0}$ , то и $\overrightarrow{AB} = \vec{0}$ , и все точки совпадают).
Если $$l = 0$$ , то $$k + m = 0$$ , и так как числа не все нули, $m \ne 0$ . Тогда $m\overrightarrow{AC} = \vec{0}$ , то есть $$C = A$$ , и три точки лежат на одной прямой (на прямой $$AB$$ ).

Ответ

Утверждение доказано: для точек на одной прямой подходят k = n − 1, l = 1, m = −n, где AB = n·AC; обратно, при O = A получаем коллинеарность векторов AB и AC

Почему так

Три точки лежат на одной прямой, когда векторы AB и AC коллинеарны, а коллинеарность записывается как AB = n·AC.

Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».

Задание 1372

Задача 1