Задача 1
(Повышенной трудности.) С помощью векторов докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Решение
Дано: четырёхугольник \(ABCD\); \(E\), \(F\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\); \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) — середины сторон \(AB\), \(CD\), \(BC\), \(DA\); \(G\) — точка пересечения \(PQ\) и \(RS\). Доказать: \(E\), \(F\), \(G\) лежат на одной прямой.
-
Возьмём произвольную точку \(O\). По формуле вектора середины отрезка (задача 1 п. 92):
\[\overrightarrow{OE} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}),\quad \overrightarrow{OF} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}),\]\[\overrightarrow{OP} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}),\quad \overrightarrow{OQ} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}).\] -
Пусть \(G_1\) — середина \(PQ\), \(G_2\) — середина \(RS\). Тогда
\[\overrightarrow{OG_1} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}) = \tfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),\]и точно так же \(\overrightarrow{OG_2} = \tfrac{1}{4}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA})\). Векторы равны, значит, \(G_1 = G_2\): отрезки \(PQ\) и \(RS\) пересекаются в своей общей середине, это и есть точка \(G\) (это и есть утверждение задачи 979: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам). -
Сравним: \(\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{OG}\). Значит, для любой точки \(O\)
\[1 \cdot \overrightarrow{OE} + 1 \cdot \overrightarrow{OF} + (-2) \cdot \overrightarrow{OG} = \vec{0},\]причём \(1 + 1 + (-2) = 0\) и числа не все нули. -
По задаче 1372 (если для любой точки \(O\) выполнено \(k\overrightarrow{OX} + l\overrightarrow{OY} + m\overrightarrow{OZ} = \vec{0}\), где \(k + l + m = 0\) и числа не все нули, то точки \(X\), \(Y\), \(Z\) лежат на одной прямой) точки \(E\), \(F\), \(G\) лежат на одной прямой. Более того, \(\overrightarrow{OG} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF})\), то есть \(G\) — середина отрезка \(EF\) (если \(E = F\), все три точки совпадают).
Ответ
Через произвольную точку O все три точки выражаются через OA, OB, OC, OD, и получается соотношение из задачи 1372 с числами 1, 1, −2.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».