Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1374

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах A, B, C пересекают прямые BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁. С помощью векторов докажите, что A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BC = a$$ , $$CA = b$$ , $$AB = c$$ ; биссектрисы внешних углов при $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ пересекают прямые $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ в точках $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ . Доказать: $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Раз точки пересечения существуют, $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ попарно различны: если $$AB = AC$$ , биссектриса внешнего угла при $$A$$ параллельна $$BC$$ .

1) Свойство биссектрисы внешнего угла: $\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{c}{b}$ , и $$A_1$$ лежит вне отрезка $$BC$$ .

Пусть для определённости $$c > b$$ . Пусть $$D$$ — точка на продолжении $$BA$$ за точку $$A$$ ; биссектриса $$AA_1$$ делит угол $$CAD$$ на два угла $\varphi$ . Через $$C$$ проведём прямую, параллельную $$AA_1$$ ; она пересечёт отрезок $$AB$$ в точке $$K$$ . Угол $$AKC$$ равен $\varphi$ (соответственный углу $$DAA_1$$ при параллельных $$KC$$ , $$AA_1$$ и секущей $$AB$$ ), а угол $$ACK$$ равен $\varphi$ (накрест лежащий с углом $$CAA_1$$ при секущей $$AC$$ ). Значит, $\triangle AKC$ равнобедренный: $$AK = AC = b$$ , и $$BK = c - b$$ . Так как $KC \parallel AA_1$ , треугольники $$BKC$$ и $$BAA_1$$ подобны, $\dfrac{BA_1}{BC} = \dfrac{BA}{BK}$ , откуда $BA_1 = \dfrac{ac}{c - b}$ и $A_1C = BA_1 - a = \dfrac{ab}{c - b}$ . Отношение $\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{c}{b}$ .

2) Вектор точки $$A_1$$ . Точка $$A_1$$ вне отрезка $$BC$$ , поэтому векторы $\overrightarrow{A_1B}$ и $\overrightarrow{A_1C}$ сонаправлены и $b\,\overrightarrow{A_1B} = c\,\overrightarrow{A_1C}$ . Для произвольной точки $$O$$ : $b(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA_1}) = c(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA_1})$ , откуда

(b - c)\overrightarrow{OA_1} = b\,\overrightarrow{OB} - c\,\overrightarrow{OC}.

Точно так же (свойство применяется к вершинам

\(B\)

и

\(C\)

):

(c - a)\overrightarrow{OB_1} = c\,\overrightarrow{OC} - a\,\overrightarrow{OA},\qquad (a - b)\overrightarrow{OC_1} = a\,\overrightarrow{OA} - b\,\overrightarrow{OB}.

3) Сложим три равенства: правая часть $b\overrightarrow{OB} - c\overrightarrow{OC} + c\overrightarrow{OC} - a\overrightarrow{OA} + a\overrightarrow{OA} - b\overrightarrow{OB} = \vec{0}$ . Получаем

(b - c)\overrightarrow{OA_1} + (c - a)\overrightarrow{OB_1} + (a - b)\overrightarrow{OC_1} = \vec{0}

для любой точки

\(O\)

. Сумма коэффициентов

\((b - c) + (c - a) + (a - b) = 0\)

, и все они отличны от нуля, так как стороны попарно различны.

По задаче 1372 (три точки, для которых при любой точке $$O$$ выполнено такое соотношение с ненулевыми коэффициентами, дающими в сумме нуль, лежат на одной прямой) точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано: (b − c)·OA₁ + (c − a)·OB₁ + (a − b)·OC₁ = 0 для любой точки O, и по задаче 1372 точки на одной прямой

Почему так

Биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону внешним образом в отношении прилежащих сторон; отсюда векторное соотношение из задачи 1372.

Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».

Задание 1374

Задача 1