Задание 1375

Дано: \(\triangle ABC\) неравносторонний, \(H\) — точка пересечения прямых, содержащих высоты, \(O\) — центр описанной окружности, \(G\) — точка пересечения медиан. Доказать: \(G \in HO\), \(\dfrac{HG}{GO} = 2\).

1. Пусть \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины \(BC\), \(CA\), \(AB\). Медианы делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GA_1}\), \(\overrightarrow{GB} = -2\overrightarrow{GB_1}\), \(\overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{GC_1}\).

2. Определим точку \(H'\) равенством \(\overrightarrow{GH'} = -2\overrightarrow{GO}\) и докажем, что \(H' = H\).

3. \(\overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{GH'} - \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GO} + 2\overrightarrow{GA_1} = 2(\overrightarrow{GA_1} - \overrightarrow{GO}) = 2\overrightarrow{OA_1}\).

4. Центр \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\), проходящем через \(A_1\). Если \(O \ne A_1\), то \(OA_1 \perp BC\), и вектор \(\overrightarrow{AH'}\), коллинеарный \(\overrightarrow{OA_1}\), тоже перпендикулярен \(BC\): точка \(H'\) лежит на прямой, проходящей через \(A\) перпендикулярно \(BC\), — на прямой высоты из \(A\). Если \(O = A_1\), то \(\overrightarrow{AH'} = \vec{0}\), \(H' = A\) — и тоже лежит на этой прямой.

5. Так же \(\overrightarrow{BH'} = 2\overrightarrow{OB_1}\) и \(\overrightarrow{CH'} = 2\overrightarrow{OC_1}\), поэтому \(H'\) лежит на прямых высот из \(B\) и из \(C\). Прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке \(H\), значит, \(H' = H\) и

   \[\overrightarrow{GH} = -2\overrightarrow{GO}.\]

6. Точки \(O\) и \(G\) различны: если \(O = G\), то медиана \(AA_1\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\), значит, \(AB = AC\); так же \(BA = BC\), и треугольник равносторонний, что противоречит условию. Значит, \(\overrightarrow{GO} \ne \vec{0}\), и векторы \(\overrightarrow{GH}\) и \(\overrightarrow{GO}\) направлены противоположно: \(G\) лежит на отрезке \(HO\) между \(H\) и \(O\), а \(GH = 2 \cdot GO\), то есть \(\dfrac{HG}{GO} = 2\).