Задача 1
(Повышенной трудности, к главе XI.) Вершины четырёхугольника: A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃), D(x₄; y₄). Докажите, что ABCD — параллелограмм тогда и только тогда, когда x₁ + x₃ = x₂ + x₄ и y₁ + y₃ = y₂ + y₄.
Решение
Дано: четырёхугольник \(ABCD\), \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\), \(C(x_3; y_3)\), \(D(x_4; y_4)\). Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм \(\iff\) \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\).
-
Середина \(E\) диагонали \(AC\) имеет координаты \(\left(\dfrac{x_1 + x_3}{2}; \dfrac{y_1 + y_3}{2}\right)\), середина \(F\) диагонали \(BD\) — \(\left(\dfrac{x_2 + x_4}{2}; \dfrac{y_2 + y_4}{2}\right)\). Поэтому данные равенства равносильны тому, что \(E\) и \(F\) — одна и та же точка, то есть середины диагоналей совпадают.
-
Необходимость. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, их середины совпадают, и равенства выполнены.
-
Достаточность. Пусть равенства выполнены. Тогда у диагоналей \(AC\) и \(BD\) общая середина \(E\), то есть диагонали пересекаются в точке \(E\) и делятся ею пополам. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм (признак параллелограмма; например, \(\triangle AEB = \triangle CED\) по двум сторонам и углу между ними, откуда \(AB = CD\) и \(AB \parallel CD\)).
Ответ
Координаты середины отрезка — полусуммы координат концов, а четырёхугольник — параллелограмм ровно тогда, когда его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».