Задача 1
(Повышенной трудности.) Даны A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂). Докажите, что точка C(x; y), делящая отрезок AB в отношении AC : CB = λ, имеет координаты x = (x₁ + λx₂)/(1 + λ), y = (y₁ + λy₂)/(1 + λ).
Решение
Дано: \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\), точка \(C(x; y)\) на отрезке \(AB\), \(\dfrac{AC}{CB} = \lambda\). Доказать: \(x = \dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}\), \(y = \dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\).
-
Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CB}\) сонаправлены, а их длины относятся как \(\lambda\). Значит, \(\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{CB}\).
-
Координаты вектора равны разностям координат конца и начала: \(\overrightarrow{AC}\{x - x_1; y - y_1\}\), \(\overrightarrow{CB}\{x_2 - x; y_2 - y\}\). У равных векторов равны координаты, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:
\[x - x_1 = \lambda(x_2 - x),\qquad y - y_1 = \lambda(y_2 - y).\] -
Из первого равенства \(x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2\), то есть \(x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2\). Так как \(\lambda \ge 0\), \(1 + \lambda \ne 0\), и
\[x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}.\]Точно так же из второго равенства \(y = \dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\).
При \(\lambda = 1\) получаются формулы координат середины отрезка.
Ответ
Точка C делит отрезок в отношении λ, значит, вектор AC равен λ·CB, а равенство векторов записывается покоординатно.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».