Задача 1
Условие (кратко)
(Повышенной трудности.) Центр тяжести однородной треугольной пластинки — в точке пересечения медиан. Найдите его координаты, если вершины пластинки (x₁; y₁), (x₂; y₂), (x₃; y₃).
Решение
Дано
- вершины треугольника \(A(x_1; y_1)\)
- \(B(x_2; y_2)\)
- \(C(x_3; y_3)\); \(G\) — точка пересечения медиан
Найти
- координаты \(G\)
-
Пусть \(M\) — середина \(BC\): \(M\left(\dfrac{x_2 + x_3}{2}; \dfrac{y_2 + y_3}{2}\right)\).
-
Точка пересечения медиан делит медиану \(AM\) в отношении \(AG : GM = 2 : 1\), считая от вершины. Применим формулы задачи 1377 с \(\lambda = 2\):
\[x = \frac{x_1 + 2 \cdot \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{1 + 2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\qquad y = \frac{y_1 + 2 \cdot \dfrac{y_2 + y_3}{2}}{1 + 2} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.\] -
Формула симметрична относительно вершин — по любой другой медиане получилась бы та же точка, как и должно быть.
Ответ
((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3)
Почему так
Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 к 1 от вершины, и по формулам деления отрезка её координаты — средние арифметические координат вершин.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».