Задача 1
(Повышенной трудности.) Вершины треугольника ABC: A(−3; 0), B(0; 4), C(3; 0). Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Найдите координаты точки D.
Решение
- \(A(-3; 0)\)
- \(B(0; 4)\)
- \(C(3; 0)\)
- \(AD\) — биссектриса \(\triangle ABC\)
- \(D \in BC\)
- координаты \(D\)
-
Длины сторон по формуле расстояния между точками:
\[AB = \sqrt{(0 + 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5,\qquad AC = \sqrt{(3 + 3)^2 + 0^2} = 6.\] -
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6}.\] -
Точка \(D\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(\lambda = \dfrac{5}{6}\), считая от \(B\). По формулам задачи 1377 (\(1 + \lambda = \dfrac{11}{6}\)):
\[x = \frac{0 + \dfrac{5}{6} \cdot 3}{\dfrac{11}{6}} = \frac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{11}{6}} = \frac{15}{11},\qquad y = \frac{4 + \dfrac{5}{6} \cdot 0}{\dfrac{11}{6}} = \frac{24}{11}.\]
Проверка: \(D\) лежит на прямой \(BC\), уравнение которой \(4x + 3y = 12\), и действительно \(4 \cdot \dfrac{15}{11} + 3 \cdot \dfrac{24}{11} = \dfrac{60 + 72}{11} = 12\).
Ответ
Биссектриса делит сторону BC в отношении AB к AC, то есть 5 к 6, а координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, дают формулы задачи 1377.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».