Задача 1
(Повышенной трудности.) В треугольнике ABC AC = 9 см, BC = 12 см, медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите AB.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AC = 9\) см
- \(BC = 12\) см
- \(AM\) и \(BN\) — медианы
- \(AM \perp BN\)
- \(AB\)
-
Пусть \(G\) — точка пересечения медиан. Введём систему координат с началом \(G\), осью абсцисс — прямой \(AM\), осью ординат — прямой \(BN\) (они перпендикулярны по условию).
-
Медианы делятся точкой \(G\) в отношении \(2 : 1\) от вершины. Поэтому можно взять \(A(-2u; 0)\), \(M(u; 0)\), \(B(0; 2v)\), \(N(0; -v)\), где \(u > 0\), \(v > 0\).
-
\(M\) — середина \(BC\), значит, \(C\) симметрична \(B\) относительно \(M\): \(x_C = 2u - 0 = 2u\), \(y_C = 0 - 2v = -2v\), то есть \(C(2u; -2v)\). Проверка: середина \(AC\) — точка \(\left(\dfrac{-2u + 2u}{2}; \dfrac{0 - 2v}{2}\right) = (0; -v)\), это \(N\).
-
По формуле расстояния:
\[AC^2 = (4u)^2 + (2v)^2 = 16u^2 + 4v^2 = 81,\qquad BC^2 = (2u)^2 + (4v)^2 = 4u^2 + 16v^2 = 144.\] -
Сложим: \(20(u^2 + v^2) = 225\), откуда \(u^2 + v^2 = \dfrac{45}{4}\). (Сами \(u\) и \(v\) тоже находятся: \(u^2 = 3\), \(v^2 = \dfrac{33}{4}\) — такой треугольник существует.)
-
\(AB^2 = (2u)^2 + (2v)^2 = 4(u^2 + v^2) = 45\), значит, \(AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см \(\approx 6{,}7\) см.
Ответ
Удобно принять прямые медиан за оси координат — тогда вершины выражаются через два параметра, а длины сторон по формуле расстояния дают систему.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».