Задача 1
(Повышенной трудности.) Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m₁, m₂, m₃, сосредоточенных в точках A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃).
Решение
- массы \(m_1\)
- \(m_2\)
- \(m_3\) в точках \(A_1(x_1; y_1)\)
- \(A_2(x_2; y_2)\)
- \(A_3(x_3; y_3)\)
- координаты центра тяжести \(Z\)
-
Из физики (правило рычага): центр тяжести двух масс \(m_1\) и \(m_2\), сосредоточенных в точках \(A_1\) и \(A_2\), — это точка \(Z_{12}\) отрезка \(A_1A_2\), для которой \(\dfrac{A_1Z_{12}}{Z_{12}A_2} = \dfrac{m_2}{m_1}\) (ближе к большей массе). Систему двух масс можно заменить массой \(m_1 + m_2\) в точке \(Z_{12}\).
-
По формулам задачи 1377 с \(\lambda = \dfrac{m_2}{m_1}\) (умножим числитель и знаменатель на \(m_1\)):
\[x_{12} = \frac{x_1 + \frac{m_2}{m_1}x_2}{1 + \frac{m_2}{m_1}} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2},\qquad y_{12} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2}.\] -
Теперь система — это масса \(m_1 + m_2\) в точке \(Z_{12}\) и масса \(m_3\) в точке \(A_3\). Тем же правилом, с \(\lambda = \dfrac{m_3}{m_1 + m_2}\):
\[x = \frac{(m_1 + m_2)x_{12} + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3},\]\[y = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3}.\] -
Формулы симметричны относительно масс, поэтому порядок объединения не важен. При \(m_1 = m_2 = m_3\) получается точка пересечения медиан из задачи 1378.
Ответ
Центр тяжести двух масс делит соединяющий их отрезок в отношении, обратном массам; дважды применив формулы деления отрезка, получаем средневзвешенные координаты.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».