(Повышенной трудности.) На оси абсцисс найдите точку M, для которой сумма расстояний AM + MB наименьшая, если A(2; 3), B(4; −5).
Решение
Дано
\(A(2; 3)\)
\(B(4; -5)\)
\(M\) на оси \(Ox\)
Найти
\(M\)
при которой \(AM + MB\) наименьшая
Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от оси абсцисс (ординаты \(3 > 0\) и \(-5 < 0\)), поэтому отрезок \(AB\) пересекает ось в некоторой точке \(M_0\).
Для любой точки \(M\) оси по неравенству треугольника \(AM + MB \ge AB\), а равенство достигается, только когда \(M\) лежит на отрезке \(AB\), то есть при \(M = M_0\). Значит, искомая точка — \(M_0\).
Найдём \(M_0(x; 0)\). Точки \(A\), \(M_0\), \(B\) лежат на одной прямой, поэтому векторы \(\overrightarrow{AM_0}\{x - 2; -3\}\) и \(\overrightarrow{AB}\{2; -8\}\) коллинеарны, их координаты пропорциональны:
\[\frac{x - 2}{2} = \frac{-3}{-8}\;\Rightarrow\; x - 2 = \frac{3}{4},\quad x = 2\frac{3}{4}.\]
Ответ
M(2 3/4; 0)
Почему так
Если точки по разные стороны от оси, сумма расстояний наименьшая в точке пересечения отрезка AB с осью — по неравенству треугольника.
(Повышенной трудности.) На оси абсцисс найдите точку M, для которой сумма расстояний AM + MB наименьшая, если A(−2; 4), B(3; 1).
Решение
Дано
\(A(-2; 4)\)
\(B(3; 1)\)
\(M\) на оси \(Ox\)
Найти
\(M\)
при которой \(AM + MB\) наименьшая
Обе точки лежат выше оси абсцисс. Отразим \(B\) относительно оси: \(B'(3; -1)\). Ось \(Ox\) — серединный перпендикуляр к \(BB'\), поэтому для любой точки \(M\) оси \(MB = MB'\), и \(AM + MB = AM + MB'\).
Точки \(A\) и \(B'\) лежат по разные стороны от оси, поэтому, как в пункте а), сумма \(AM + MB'\) наименьшая, когда \(M\) — точка пересечения отрезка \(AB'\) с осью (неравенство треугольника: \(AM + MB' \ge AB'\)).
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).