Задача 1
Найдите точки пересечения окружностей (x − 1)² + (y − 2)² = 4 и x² + y² = 1 и вычислите длину их общей хорды.
Решение
- окружности \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\) и \(x^2 + y^2 = 1\)
- точки их пересечения и длину общей хорды
-
Точка \((x; y)\) лежит на обеих окружностях тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы
\[\begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}\] -
Раскроем скобки в первом уравнении: \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 4\). По второму уравнению \(x^2 + y^2 = 1\), подставим: \(1 - 2x - 4y + 5 = 4\), откуда \(x + 2y = 1\). Это уравнение прямой, на которой лежат обе общие точки (прямая, содержащая общую хорду).
-
Выразим \(x = 1 - 2y\) и подставим во второе уравнение: \((1 - 2y)^2 + y^2 = 1\), то есть \(5y^2 - 4y = 0\), \(y(5y - 4) = 0\). Отсюда \(y_1 = 0\), \(x_1 = 1\) и \(y_2 = 0{,}8\), \(x_2 = 1 - 1{,}6 = -0{,}6\).
-
Точки пересечения: \(A(1; 0)\) и \(B(-0{,}6; 0{,}8)\). Проверка: \((-0{,}6)^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\); \((-1{,}6)^2 + (-1{,}2)^2 = 2{,}56 + 1{,}44 = 4\).
-
Длина общей хорды — расстояние между точками \(A\) и \(B\):
\[AB = \sqrt{(-0{,}6 - 1)^2 + (0{,}8 - 0)^2} = \sqrt{2{,}56 + 0{,}64} = \sqrt{3{,}2} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5}.\]
Ответ
Общие точки окружностей — решения системы их уравнений; вычитание уравнений даёт уравнение прямой общей хорды.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».