Задача 1
Прямая a и точка A не на ней. Для каждой точки M₁ прямой a на луче AM₁ взята точка M, что AM₁ · AM = k (k > 0). Найдите множество всех точек M.
Решение
- прямая \(a\)
- точка \(A \notin a\)
- \(k > 0\); \(M_1 \in a\)
- \(M\) на луче \(AM_1\)
- \(AM_1 \cdot AM = k\)
- множество точек \(M\)
-
Введём систему координат: начало в точке \(A\), ось \(Oy\) — перпендикуляр из \(A\) к прямой \(a\), направленный к ней. Пусть \(d\) — расстояние от \(A\) до \(a\); тогда уравнение прямой \(a\): \(y = d\), и \(M_1(t; d)\), где \(t\) — любое число.
-
Точка \(M\) лежит на луче \(AM_1\), поэтому \(\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AM_1}\), \(\lambda > 0\), и \(AM = \lambda \cdot AM_1\). Условие \(AM_1 \cdot AM = k\) даёт \(\lambda \cdot AM_1^2 = k\), \(\lambda = \dfrac{k}{t^2 + d^2}\). Значит,
\[x = \dfrac{kt}{t^2 + d^2}, \quad y = \dfrac{kd}{t^2 + d^2}.\] -
Найдём уравнение: \(x^2 + y^2 = \dfrac{k^2(t^2 + d^2)}{(t^2 + d^2)^2} = \dfrac{k^2}{t^2 + d^2} = \dfrac{k}{d}\,y\). Итак, \(x^2 + y^2 - \dfrac{k}{d}y = 0\), то есть
\[x^2 + \left(y - \dfrac{k}{2d}\right)^2 = \left(\dfrac{k}{2d}\right)^2.\]Это окружность с центром \(\left(0; \dfrac{k}{2d}\right)\) радиуса \(\dfrac{k}{2d}\); она проходит через точку \(A(0; 0)\). При этом \(y > 0\) для всех точек \(M\), так что сама точка \(A\) не получается. -
Обратно, пусть \(M(x; y)\) — точка этой окружности, отличная от \(A\). Из уравнения \(x^2 + y^2 = \dfrac{k}{d}y\) следует \(y > 0\). Луч \(AM\) пересекает прямую \(y = d\) в точке \(M_1\), \(\overrightarrow{AM_1} = \dfrac{d}{y}\overrightarrow{AM}\), и
\[AM_1 \cdot AM = \dfrac{d}{y}(x^2 + y^2) = \dfrac{d}{y} \cdot \dfrac{k}{d}y = k.\]Значит, каждая такая точка входит в искомое множество. -
Итак, искомое множество — окружность диаметра \(\dfrac{k}{d}\), проходящая через \(A\), с центром на перпендикуляре из \(A\) к прямой \(a\) (по ту же сторону от \(A\), что и прямая), без самой точки \(A\).
Ответ
В системе координат с началом в A координаты точек M удовлетворяют уравнению x² + y² = (k/d)·y — уравнению окружности.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».