Задача 1
Точка O не лежит на данной окружности. Для каждой точки M₁ окружности на луче OM₁ взята точка M, что OM = k · OM₁ (k > 0). Найдите множество всех точек M.
Решение
- окружность с центром \(Q\) радиуса \(R\)
- точка \(O\) не лежит на ней
- \(k > 0\); \(M_1\) на окружности
- \(M\) на луче \(OM_1\)
- \(OM = k \cdot OM_1\)
- множество точек \(M\)
-
Введём систему координат с началом в точке \(O\). Пусть \(Q(a; b)\); уравнение данной окружности: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\).
-
Точка \(M\) лежит на луче \(OM_1\) и \(OM = k \cdot OM_1\), поэтому \(\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OM_1}\). Если \(M(x; y)\), то \(M_1\left(\dfrac{x}{k}; \dfrac{y}{k}\right)\).
-
Точка \(M_1\) лежит на окружности:
\[\left(\dfrac{x}{k} - a\right)^2 + \left(\dfrac{y}{k} - b\right)^2 = R^2.\]Умножив на \(k^2\), получим \((x - ka)^2 + (y - kb)^2 = (kR)^2\). -
Обратно, если \(M(x; y)\) удовлетворяет этому уравнению, то точка \(M_1\left(\dfrac{x}{k}; \dfrac{y}{k}\right)\) лежит на данной окружности, \(M_1 \ne O\) (точка \(O\) на окружности не лежит), и \(\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OM_1}\), то есть \(M\) лежит на луче \(OM_1\) и \(OM = k \cdot OM_1\).
-
Итак, искомое множество — окружность радиуса \(kR\) с центром в точке \(Q_1(ka; kb)\), то есть в точке луча \(OQ\) с \(OQ_1 = k \cdot OQ\) (если \(O\) — центр, то \(Q_1 = O\)).
Ответ
Координаты точки M в k раз больше координат M₁ (начало в O), поэтому из уравнения данной окружности получается уравнение окружности радиуса kR.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».