Задание 1388

Дано: точки \(A\) и \(B\), \(k > 0\), \(k \ne 1\). Доказать: множество точек \(M\) с \(AM = k \cdot BM\) — окружность.

1. Введём систему координат: ось \(Ox\) — прямая \(AB\), начало — середина отрезка \(AB\). Пусть \(AB = 2a\); тогда \(A(-a; 0)\), \(B(a; 0)\).

2. Длины неотрицательны, поэтому \(AM = k \cdot BM\) равносильно \(AM^2 = k^2 BM^2\):

   \[(x + a)^2 + y^2 = k^2\left((x - a)^2 + y^2\right).\]

3. Раскроем скобки и соберём подобные: \((1 - k^2)(x^2 + y^2) + 2a(1 + k^2)x + a^2(1 - k^2) = 0\). Так как \(k \ne 1\), разделим на \(1 - k^2\) и обозначим \(m = \dfrac{a(k^2 + 1)}{k^2 - 1}\):

   \[x^2 + y^2 - 2mx + a^2 = 0, \quad (x - m)^2 + y^2 = m^2 - a^2.\]

4. Найдём правую часть:

   \[m^2 - a^2 = \dfrac{a^2\left((k^2 + 1)^2 - (k^2 - 1)^2\right)}{(k^2 - 1)^2} = \dfrac{4a^2k^2}{(k^2 - 1)^2} > 0.\]
   Все преобразования равносильны, поэтому искомое множество — окружность с центром \(P(m; 0)\) на прямой \(AB\) радиуса \(r = \dfrac{2ak}{|k^2 - 1|}\). Утверждение доказано.

Заметим для пункта б): \(m^2 = r^2 + a^2\).

Дано: окружность Аполлония \(\omega\) для точек \(A\), \(B\) и числа \(k\); окружность \(\sigma\) проходит через \(A\) и \(B\). Доказать: \(\omega\) и \(\sigma\) пересекаются, и в каждой общей точке \(X\) их радиусы перпендикулярны.

1. Возьмём систему координат пункта а): \(A(-a; 0)\), \(B(a; 0)\); \(\omega\) имеет центр \(P(m; 0)\) и радиус \(r\), причём \(m^2 = r^2 + a^2\).

2. Центр \(Q\) окружности \(\sigma\) равноудалён от \(A\) и \(B\), поэтому лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\) — оси \(Oy\): \(Q(0; q)\). Её радиус \(\rho\): \(\rho^2 = QA^2 = a^2 + q^2\).

3. Найдём расстояние между центрами:

   \[PQ^2 = m^2 + q^2 = r^2 + a^2 + q^2 = r^2 + \rho^2.\]

4. Окружности пересекаются. Так как \(PQ^2 = r^2 + \rho^2 > r^2\), то \(r < PQ\). На окружности с диаметром \(PQ\) возьмём точку \(X\) с \(PX = r\) (хорда длины \(r\), меньшей диаметра, из точки \(P\) существует). Угол \(PXQ\) опирается на диаметр, поэтому он прямой, и по теореме Пифагора \(QX^2 = PQ^2 - r^2 = \rho^2\). Значит, \(PX = r\), \(QX = \rho\) — точка \(X\) лежит на обеих окружностях.

5. Пусть \(X\) — любая общая точка. Тогда \(PX = r\), \(QX = \rho\) и \(PQ^2 = PX^2 + QX^2\). По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник \(PXQ\) прямоугольный с прямым углом \(X\), то есть радиусы \(PX\) и \(QX\) перпендикулярны. Утверждение доказано.