Задача 1
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, площадь треугольника ODC — среднее пропорциональное площадей OBC и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и BC или параллелограмм.
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\), \(S_{ODC}^2 = S_{OBC} \cdot S_{OAD}\). Доказать: \(AD \parallel BC\).
-
Диагонали пересекаются, значит, \(O\) лежит на отрезках \(AC\) и \(BD\), а четырёхугольник выпуклый. Пусть \(\angle AOB = \varphi\). Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, а \(BOC\) и \(AOD\) смежны с ними, их синусы равны \(\sin\varphi\).
-
По теореме о площади треугольника: \(S_{OAB} = \dfrac{1}{2}OA \cdot OB\sin\varphi\), \(S_{ODC} = \dfrac{1}{2}OC \cdot OD\sin\varphi\), \(S_{OBC} = \dfrac{1}{2}OB \cdot OC\sin\varphi\), \(S_{OAD} = \dfrac{1}{2}OA \cdot OD\sin\varphi\). Отсюда для любого такого четырёхугольника \(S_{ODC} \cdot S_{OAB} = S_{OBC} \cdot S_{OAD}\) (обе части равны \(\dfrac{1}{4}OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD\sin^2\varphi\)).
-
По условию \(S_{OBC} \cdot S_{OAD} = S_{ODC}^2\), значит, \(S_{ODC} \cdot S_{OAB} = S_{ODC}^2\) и \(S_{OAB} = S_{ODC}\).
-
Прибавим \(S_{OAD}\): \(S_{ABD} = S_{OAB} + S_{OAD} = S_{ODC} + S_{OAD} = S_{ACD}\).
-
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\) и равные площади, поэтому их высоты, проведённые к \(AD\), равны: точки \(B\) и \(C\) одинаково удалены от прямой \(AD\). Они лежат по одну сторону от неё (четырёхугольник выпуклый), значит, \(BC \parallel AD\).
-
Итак, в \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны. Если \(AB \nparallel CD\), это трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), иначе — параллелограмм. Утверждение доказано.
Ответ
Из теоремы о площади треугольника S(ODC)·S(OAB) = S(OBC)·S(OAD), отсюда S(OAB) = S(ODC), треугольники ABD и ACD равновелики и B, C равноудалены от AD.
Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».