Задание 1391

Дано: четырёхугольник \(ABCD\), \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\), \(S\) — его площадь. Доказать: \(S \le \dfrac{1}{2}(ac + bd)\).

1. Вспомогательный факт: площадь треугольника со сторонами \(x\), \(y\) и углом \(\alpha\) между ними равна \(\dfrac{1}{2}xy\sin\alpha \le \dfrac{1}{2}xy\), так как \(\sin\alpha \le 1\).

2. Хотя бы одна диагональ четырёхугольника лежит внутри него (у выпуклого — обе, у невыпуклого — диагональ из вершины угла больше \(180^\circ\)). Пусть это \(AC\) (выпуклый случай); тогда \(S = S_{ABC} + S_{ACD}\), и \(B\), \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\).

3. Отразим треугольник \(ACD\) симметрично относительно серединного перпендикуляра к \(AC\): точки \(A\) и \(C\) поменяются местами, \(D\) перейдёт в \(D'\) по ту же сторону от \(AC\). Треугольник \(CAD'\) равен треугольнику \(ACD\), поэтому \(AD' = CD = c\), \(CD' = AD = d\), \(S_{ACD'} = S_{ACD}\), и \(S = S_{ABC} + S_{ACD'}\).

4. Точки \(B\) и \(D'\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\), отрезок \(BD'\) пересекает её в точке \(X\). Если \(X\) лежит на отрезке \(AC\), то

   \[S = (S_{ABX} + S_{XBC}) + (S_{AXD'} + S_{XCD'}) = S_{ABD'} + S_{CBD'} \le \dfrac{1}{2}AB \cdot AD' + \dfrac{1}{2}CB \cdot CD' = \dfrac{1}{2}(ac + bd).\]
   Если \(C\) лежит между \(A\) и \(X\), то \(C\) внутри треугольника \(ABD'\) и \(S = S_{ABD'} - S_{CBD'} \le S_{ABD'} \le \dfrac{1}{2}ac\); случай, когда \(A\) между \(C\) и \(X\), такой же: \(S \le S_{CBD'} \le \dfrac{1}{2}bd\). Во всех случаях \(S \le \dfrac{1}{2}(ac + bd)\).

5. Если внутри лежит диагональ \(BD\) (невыпуклый случай), рассуждаем так же: \(S = S_{ABD} + S_{BCD}\), отражаем треугольник \(BCD\) относительно серединного перпендикуляра к \(BD\), \(C \to C'\), \(BC' = CD = c\), \(DC' = BC = b\). Тогда \(S \le S_{ABC'} + S_{ADC'} \le \dfrac{1}{2}ac + \dfrac{1}{2}db\). Утверждение доказано.