Задача 1
Докажите, что биссектриса AA₁ треугольника ABC вычисляется по формуле AA₁ = 2bc·cos(A/2)/(b + c), где b = AC, c = AB.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\) — биссектриса, \(b = AC\), \(c = AB\), \(\angle A = \alpha\). Доказать: \(AA_1 = \dfrac{2bc\cos\dfrac{\alpha}{2}}{b + c}\).
-
Сначала докажем равенство \(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\) при \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Возьмём равнобедренный треугольник \(KLN\) с \(KL = KN = 1\) и \(\angle K = \alpha\). Высота \(KH\) является и биссектрисой, и медианой. В прямоугольном треугольнике \(KHL\) угол \(K\) равен \(\dfrac{\alpha}{2}\) (острый), поэтому \(KH = \cos\dfrac{\alpha}{2}\), \(LH = \sin\dfrac{\alpha}{2}\), \(LN = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\). Площадь треугольника двумя способами: \(\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin\alpha = \dfrac{1}{2}LN \cdot KH = \sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\), откуда и следует нужное равенство.
-
Биссектриса делит треугольник \(ABC\) на треугольники \(ABA_1\) и \(AA_1C\), поэтому \(S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{AA_1C}\). Пусть \(AA_1 = l\). Углы \(BAA_1\) и \(A_1AC\) равны \(\dfrac{\alpha}{2}\). По теореме о площади треугольника:
\[\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha = \dfrac{1}{2}cl\sin\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{2}bl\sin\dfrac{\alpha}{2}.\] -
Подставим \(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\) и сократим на \(\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2} \ne 0\):
\[2bc\cos\dfrac{\alpha}{2} = l(b + c), \quad l = \dfrac{2bc\cos\dfrac{\alpha}{2}}{b + c}.\]Утверждение доказано.
Ответ
Площадь треугольника равна сумме площадей двух частей, на которые его делит биссектриса, а sin A = 2 sin(A/2)·cos(A/2).
Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».