Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1393

Условие (кратко)

Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

Решение

Дано

Найти

Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$ , то есть $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , поэтому $\cos C = -\cos A$ .
Диагональ $$BD$$ по теореме косинусов из треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ :
$BD^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos A, \qquad BD^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos C = b^2 + c^2 + 2bc\cos A.$
Приравняем правые части: $a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2(ad + bc)\cos A$ , откуда $\cos A = \dfrac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad + bc)}$ .
Подставим в первое равенство:
$BD^2 = a^2 + d^2 - \dfrac{ad(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)}{ad + bc} = \dfrac{(a^2 + d^2)(ad + bc) - ad(a^2 + d^2) + ad(b^2 + c^2)}{ad + bc} = \dfrac{bc(a^2 + d^2) + ad(b^2 + c^2)}{ad + bc}.$
Для диагонали $$AC$$ так же используем углы $$B$$ и $$D$$ ( $\angle B + \angle D = 180^\circ$ ) и треугольники $$ABC$$ (стороны $$a$$ , $$b$$ ) и $$ADC$$ (стороны $$d$$ , $$c$$ ):
$AC^2 = \dfrac{ab(c^2 + d^2) + cd(a^2 + b^2)}{ab + cd}.$
Итак,
$AC = \sqrt{\dfrac{ab(c^2 + d^2) + cd(a^2 + b^2)}{ab + cd}}, \quad BD = \sqrt{\dfrac{bc(a^2 + d^2) + ad(b^2 + c^2)}{ad + bc}}.$ Проверка на квадрате со стороной 1: обе формулы дают $\sqrt{\dfrac{2 + 2}{2}} = \sqrt{2}$ — верно.

Ответ

AC = √((ab(c² + d²) + cd(a² + b²))/(ab + cd)), BD = √((bc(a² + d²) + ad(b² + c²))/(ad + bc)), где a = AB, b = BC, c = CD, d = DA

Почему так

Теорема косинусов для двух треугольников с общей диагональью и равенство cos C = −cos A для противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Задание 1393