Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1395

Условие (кратко)

Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая через центры вписанной и описанной окружностей перпендикулярна одной из биссектрис треугольника.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ (не равносторонний, иначе центры совпадают и прямой нет), $$a = BC$$ , $$b = CA$$ , $$c = AB$$ , $$O$$ и $$I$$ — центры описанной и вписанной окружностей. Доказать: стороны образуют арифметическую прогрессию $\Leftrightarrow$ $$OI$$ перпендикулярна одной из биссектрис.

Лемма. Пусть $a \ne c$ . Тогда $OI \perp BI$ $\Leftrightarrow$ $$a + c = 2b$$ . Пусть луч $$BI$$ вторично пересекает описанную окружность в точке $$W$$ . Вписанные углы $$ABW$$ и $$WBC$$ равны, поэтому равны хорды: $$WA = WC$$ , и $$W$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$ . Точка $$I$$ лежит на хорде $$BW$$ , $O \ne I$ . Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, и обратно, отрезок из центра в середину хорды ей перпендикулярен. Значит, $OI \perp BW$ $\Leftrightarrow$ $$I$$ — середина $$BW$$ .
Спроецируем точки на прямую $$AC$$ (проведём перпендикуляры): $B \to H$ (основание высоты), $I \to K$ (точка касания вписанной окружности), $W \to M$ (середина $$AC$$ ). При $a \ne c$ биссектриса $$BW$$ не перпендикулярна $$AC$$ , поэтому разные точки прямой $$BW$$ проецируются в разные точки, а середина отрезка — в середину проекции (теорема Фалеса). Итак, $$I$$ — середина $$BW$$ $\Leftrightarrow$ $$K$$ — середина $$HM$$ .
Введём на прямой $$AC$$ координату с началом $$A$$ и направлением к $$C$$ . Тогда $$M$$ имеет координату $\dfrac{b}{2}$ ; $$K$$ — координату $$AK = p - a$$ (отрезки касательных: $AK = \dfrac{b + c - a}{2}$ ); $$H$$ — координату $c\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2b}$ (по теореме косинусов; формула верна и при тупом угле $$A$$ ). $$K$$ — середина $$HM$$ , если $2AK = \dfrac{b}{2} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2b}$ , то есть
$2b(b + c - a) = 2b^2 + c^2 - a^2 \Leftrightarrow 2b(c - a) = (c - a)(c + a) \Leftrightarrow a + c = 2b \;(\text{так как } a \ne c).$ Лемма доказана.
Пусть $$OI$$ перпендикулярна биссектрисе, например, угла $$B$$ . Если $$a = c$$ , треугольник симметричен относительно этой биссектрисы, $$O$$ и $$I$$ лежат на ней, и $$OI$$ с ней совпадает — противоречие. Значит, $a \ne c$ , и по лемме $$a + c = 2b$$ : стороны $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ образуют арифметическую прогрессию.
Обратно, пусть стороны образуют прогрессию, и $$b$$ — её средний член: $$a + c = 2b$$ . Если $$a = c$$ , то $$b = a$$ и треугольник равносторонний, что исключено. Значит, $a \ne c$ , и по лемме $OI \perp BI$ — прямая $$OI$$ перпендикулярна биссектрисе угла $$B$$ . Утверждение доказано.

Ответ

Доказано (для неравностороннего треугольника), OI ⊥ биссектрисе угла B тогда и только тогда, когда a + c = 2b

Почему так

OI ⊥ BW равносильно тому, что I — середина хорды BW, а в проекции на AC — что точка касания K — середина отрезка между основанием высоты и серединой AC.

Подробнее — в теме «Решение треугольников».

Задание 1395

Задача 1