Задача 1
В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD = 3, боковая сторона CD = 6 не перпендикулярна основаниям, E — середина CD, ∠CBE = α. Найдите площадь трапеции.
Решение
- \(ABCD\) — прямоугольная трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AB \perp BC\)
- \(AD = 3\)
- \(CD = 6\)
- \(E\) — середина \(CD\)
- \(\angle CBE = \alpha\)
- \(S_{ABCD}\)
-
Введём систему координат: \(B(0; 0)\), луч \(BC\) — ось \(Ox\), луч \(BA\) — ось \(Oy\). Пусть \(BC = x_C\), \(AB = h\); тогда \(C(x_C; 0)\), \(A(0; h)\), \(D(3; h)\), и по формуле координат середины \(E\left(\dfrac{x_C + 3}{2}; \dfrac{h}{2}\right)\).
-
Пусть \(BE = m\). Луч \(BE\) образует с осью \(Ox\) угол \(\alpha\), поэтому \(\dfrac{x_C + 3}{2} = m\cos\alpha\), \(\dfrac{h}{2} = m\sin\alpha\), то есть \(x_C + 3 = 2m\cos\alpha\), \(h = 2m\sin\alpha\).
-
Условие \(CD = 6\) означает, что \((x_C - 3)^2 + h^2 = 36\). Подставим \(x_C - 3 = 2m\cos\alpha - 6\):
\[(2m\cos\alpha - 6)^2 + 4m^2\sin^2\alpha = 36 \Rightarrow 4m^2 - 24m\cos\alpha = 0 \Rightarrow m = 6\cos\alpha.\] -
Площадь трапеции: \(S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot AB = \dfrac{(3 + x_C)h}{2} = \dfrac{2m\cos\alpha \cdot 2m\sin\alpha}{2} = 2m^2\sin\alpha\cos\alpha = 72\sin\alpha\cos^3\alpha\).
-
Замечание: \(BC = 12\cos^2\alpha - 3\) больше \(AD = 3\) при \(\cos^2\alpha > \dfrac{1}{2}\), то есть условие задачи выполнимо при \(0^\circ < \alpha < 45^\circ\). Например, при \(\alpha = 30^\circ\) площадь равна \(72 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{8} = \dfrac{27\sqrt{3}}{2} \approx 23{,}38\).
Ответ
В координатах с началом в B середина E даёт BE = 6cos α, а основания и высота выражаются через BE и угол α.
Подробнее — в теме «Решение треугольников».