Задача 1
В треугольнике ABC высота AH = h, медиана AM = l, биссектриса AN, причём N — середина MH. Найдите расстояние от A до точки пересечения высот.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AH = h\) — высота
- \(AM = l\) — медиана
- \(AN\) — биссектриса
- \(N\) — середина \(MH\) (\(l > h\)
- иначе треугольник равнобедренный и точки совпадают)
- \(AQ\)
- где \(Q\) — точка пересечения высот
-
Система координат: \(M(0; 0)\), ось \(Ox\) — прямая \(BC\), точка \(A\) сверху. Пусть \(BC = 2m\), \(HM = d\), тогда \(B(-m; 0)\), \(C(m; 0)\), \(A(d; h)\), \(H(d; 0)\), \(N\left(\dfrac{d}{2}; 0\right)\). Из прямоугольного треугольника \(AHM\): \(d^2 = l^2 - h^2\).
-
Центр \(O\) описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\) — оси \(Oy\): \(O(0; y_0)\). Из равенства \(OA = OB\) получаем \(d^2 + (h - y_0)^2 = m^2 + y_0^2\), откуда \(2hy_0 = d^2 + h^2 - m^2\).
-
Биссектриса \(AN\) вторично пересекает описанную окружность в точке \(W\) — середине дуги \(BC\) (равные вписанные углы \(BAW\) и \(WAC\) опираются на равные хорды \(WB = WC\)), поэтому \(W\) лежит на оси \(Oy\). Прямая \(AN\) проходит через \(A(d; h)\) и \(N\left(\dfrac{d}{2}; 0\right)\), при сдвиге ещё на такой же вектор получаем точку оси \(Oy\): \(W(0; -h)\).
-
\(W\) на окружности, \(OW = OB\), поэтому \((y_0 + h)^2 = m^2 + y_0^2\), то есть \(m^2 = h^2 + 2hy_0\). Подставим в равенство шага 2 и получим \(2hy_0 = d^2 - 2hy_0\), \(y_0 = \dfrac{d^2}{4h}\), и \(m^2 = h^2 + \dfrac{d^2}{2}\).
-
Точка \(Q\) лежит на высоте \(AH\): \(Q(d; y)\). Высота из \(B\) перпендикулярна \(AC\), поэтому \(\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), то есть \((d + m)(m - d) + y \cdot (-h) = 0\), \(y = \dfrac{m^2 - d^2}{h}\).
-
Тогда \(AQ = |h - y| = \dfrac{|h^2 - m^2 + d^2|}{h} = \dfrac{1}{h} \cdot \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{l^2 - h^2}{2h}\).
Ответ
Биссектриса проходит через середину W дуги BC, лежащую на серединном перпендикуляре к BC; в координатах это даёт положение центра O и ортоцентра.
Подробнее — в теме «Решение треугольников».