Задание 1399

Дано: \(AB\) — сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром \(O\) радиуса \(R\); \(AC\) — биссектриса \(\angle OAB\), \(C \in OB\). Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle OAB\).

1. Центральный угол, опирающийся на сторону правильного десятиугольника, равен \(\dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ\), поэтому \(\angle AOB = 36^\circ\).

2. Треугольник \(OAB\) равнобедренный (\(OA = OB = R\)), поэтому \(\angle OAB = \angle OBA = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ\).

3. \(AC\) — биссектриса, \(\angle BAC = \angle CAO = 36^\circ\).

4. В треугольниках \(ABC\) и \(OAB\): \(\angle BAC = \angle AOB = 36^\circ\), \(\angle ABC = \angle OAB = 72^\circ\) (угол \(ABC\) — это угол \(OBA\)). По первому признаку подобия \(\triangle ABC \sim \triangle OAB\) (вершины соответствуют в порядке записи: \(A \to O\), \(B \to A\), \(C \to B\)). Утверждение доказано.

Дано: условия пункта а), \(\triangle ABC \sim \triangle OAB\), \(\angle AOB = \angle BAC = \angle CAO = 36^\circ\), \(\angle OBA = 72^\circ\). Доказать: \(AB = AC = OC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}R\).

1. В треугольнике \(ABC\): \(\angle ACB = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ = \angle ABC\), поэтому он равнобедренный и \(AB = AC\).

2. В треугольнике \(AOC\): \(\angle CAO = \angle AOC = 36^\circ\), значит, он равнобедренный и \(AC = OC\).

3. Пусть \(AB = x\). Тогда \(OC = x\), \(CB = OB - OC = R - x\).

4. Из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle OAB\): \(\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AB}{OA}\), то есть \(\dfrac{R - x}{x} = \dfrac{x}{R}\), \(x^2 + Rx - R^2 = 0\).

5. Положительный корень: \(x = \dfrac{-R + \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}R \approx 0{,}618R\). Итак, \(AB = AC = OC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}R\). Утверждение доказано.