Задание 1400

Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(R\), \(OA \perp OB\), \(C\) — середина \(OB\), окружность с центром \(C\) радиуса \(CO = \dfrac{R}{2}\) пересекает отрезок \(AC\) в точке \(K\). Доказать: \(AK = a_{10}\), где \(a_{10}\) — сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса \(R\).

1. Найдём \(a_{10}\). Пусть \(MN\) — сторона вписанного правильного десятиугольника. Центральный угол \(\angle MON = \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ\), треугольник \(MON\) равнобедренный (\(OM = ON = R\)), поэтому \(\angle OMN = \angle ONM = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ\).
2. Проведём биссектрису \(MP\) угла \(OMN\) (\(P\) на \(ON\)). Тогда \(\angle OMP = \angle PMN = 36^\circ\). В треугольнике \(OMP\) углы при \(O\) и \(M\) равны по \(36^\circ\), значит, \(OP = MP\). В треугольнике \(MPN\) угол \(\angle MPN = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ = \angle MNP\), значит, \(MP = MN\). Обозначим \(MN = x\); тогда \(OP = MP = x\), \(PN = R - x\).
3. Треугольники \(MNP\) и \(OMN\) подобны по двум углам (у обоих углы \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)): \(\dfrac{PN}{MN} = \dfrac{MN}{ON}\), то есть \(\dfrac{R - x}{x} = \dfrac{x}{R}\). Отсюда \(x^2 + Rx - R^2 = 0\) и (положительный корень) \(x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}R\). Итак, \(a_{10} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}R\) (это и есть задача 1399).
4. Теперь найдём \(AK\). Треугольник \(AOC\) прямоугольный (\(\angle AOC = 90^\circ\)), \(OA = R\), \(OC = \dfrac{R}{2}\). По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{R^2 + \dfrac{R^2}{4}} = \dfrac{\sqrt5}{2}R\).
5. Точка \(A\) лежит вне окружности с центром \(C\) (так как \(AC > \dfrac R2\)), а \(K\) — точка этой окружности на отрезке \(AC\), поэтому \(CK = \dfrac{R}{2}\) и \(AK = AC - CK = \dfrac{\sqrt5}{2}R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}R\).
6. Сравнивая с п. 3, получаем \(AK = a_{10}\).