Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1401

Условие (кратко)

К главе XIII. Около правильного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅ описана окружность с центром O; A, B, C — середины сторон A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄. Доказать, что O и центр O₁ окружности, вписанной в △ABC, симметричны относительно прямой AC.

Решение

Дано: правильный пятиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5$$ , $$O$$ — центр описанной окружности, $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ — середины сторон $$A_1A_2$$ , $$A_2A_3$$ , $$A_3A_4$$ , $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в $\triangle ABC$ . Доказать: точки $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$ .

Прямая $$l$$ , проходящая через $$O$$ и середину $$B$$ стороны $$A_2A_3$$ , — ось симметрии пятиугольника: она перпендикулярна $$A_2A_3$$ (радиус в середину хорды) и проходит через вершину $$A_5$$ ; при симметрии относительно $$l$$ вершины меняются местами $A_2 \leftrightarrow A_3$ , $A_1 \leftrightarrow A_4$ . Поэтому середины $$A$$ и $$C$$ сторон $$A_1A_2$$ и $$A_4A_3$$ симметричны относительно $$l$$ : $AC \perp l$ и $$BA = BC$$ .
Так как $AC \perp l$ и $A_2A_3 \perp l$ , то $AC \parallel A_2A_3$ . Угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$ ; точки $$C$$ и $$A_3$$ лежат по одну сторону от прямой $$A_1A_2$$ , поэтому $\angle A_2AC = 180^\circ - \angle AA_2A_3 = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ (односторонние углы).
Треугольник $$AA_2B$$ равнобедренный: $$A_2A = A_2B$$ (половины равных сторон), угол при вершине $108^\circ$ , поэтому $\angle A_2AB = 36^\circ$ . Значит, луч $$AB$$ лежит внутри угла $$A_2AC$$ и $\angle BAC = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ$ .
$$A$$ — середина хорды $$A_1A_2$$ , поэтому $OA \perp A_1A_2$ и $\angle A_2AO = 90^\circ$ . Точка $$O$$ лежит по ту же сторону от $$A_1A_2$$ , что и $$C$$ , и $72^\circ < 90^\circ$ , поэтому луч $$AC$$ лежит внутри угла $$A_2AO$$ и $\angle CAO = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$ , причём $$O$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$ .
Центр $$O_1$$ вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $$BAC$$ , поэтому луч $$AO_1$$ образует с лучом $$AC$$ угол $\dfrac{36^\circ}{2} = 18^\circ$ и лежит по ту же сторону от $$AC$$ , что и $$B$$ . Итак, лучи $$AO$$ и $$AO_1$$ образуют с лучом $$AC$$ равные углы по $18^\circ$ по разные стороны от $$AC$$ , то есть симметричны относительно прямой $$AC$$ .
Треугольник $$ABC$$ равнобедренный ( $$BA = BC$$ ), его биссектриса из вершины $$B$$ лежит на оси симметрии $$l$$ , значит, $O_1 \in l$ . Точка $$O$$ тоже лежит на $$l$$ .
При симметрии относительно прямой $$AC$$ луч $$AO_1$$ переходит в луч $$AO$$ , а прямая $$l$$ , перпендикулярная $$AC$$ , — в себя. Значит, точка их пересечения $$O_1$$ переходит в точку пересечения луча $$AO$$ с $$l$$ , то есть в $$O$$ .

Следовательно, $$O$$ и $$O_1$$ симметричны относительно прямой $$AC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: прямые AO и AO₁ образуют с AC углы по 18° по разные стороны, а O и O₁ лежат на оси пятиугольника, перпендикулярной AC.

Почему так

Ось симметрии пятиугольника перпендикулярна AC и содержит O и O₁, а подсчёт углов показывает, что лучи AO и AO₁ симметричны относительно AC.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задание 1401

Задача 1