Задание 1402

Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(R\). Построить: вписанный в неё правильный десятиугольник.

Опираемся на задачу 1400: сторона правильного вписанного десятиугольника равна \(a_{10} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}R\), и её можно построить так, как на рисунке 423.

Построение.

1. Проведём диаметр через центр \(O\); один его конец обозначим \(A\).
2. Построим радиус \(OB \perp OA\) (перпендикуляр к прямой \(OA\) в точке \(O\)).
3. Построим середину \(C\) радиуса \(OB\) (серединный перпендикуляр к \(OB\)).
4. Проведём окружность с центром \(C\) радиуса \(CO\) и отрезок \(AC\); точку их пересечения на отрезке \(AC\) обозначим \(K\).
5. От произвольной точки \(M_1\) данной окружности циркулем раствором \(AK\) последовательно отложим хорды \(M_1M_2 = M_2M_3 = \ldots = M_9M_{10} = AK\).
6. Соединим точки \(M_1, M_2, \ldots, M_{10}\) последовательно отрезками.

Обоснование. По задаче 1400 \(AK = a_{10}\), поэтому каждая хорда \(M_iM_{i+1}\) стягивает дугу \(36^\circ\) (центральный угол над стороной правильного десятиугольника). Десять таких дуг дают \(360^\circ\), значит, \(M_{10}M_1\) — тоже хорда с дугой \(36^\circ\), то есть равна \(AK\). Все стороны многоугольника \(M_1\ldots M_{10}\) равны, и все его углы — вписанные, опирающиеся на равные дуги \(8 \cdot 36^\circ = 288^\circ\), — тоже равны (по \(144^\circ\)). Значит, \(M_1M_2\ldots M_{10}\) — правильный десятиугольник, вписанный в данную окружность.