Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIII. В данную окружность вписать правильный пятиугольник.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\). Построить: вписанный в неё правильный пятиугольник.
Построение.
- Впишем в окружность правильный десятиугольник \(M_1M_2\ldots M_{10}\) (задача 1402).
- Соединим через одну вершины \(M_1, M_3, M_5, M_7, M_9\) последовательно отрезками.
Обоснование. Каждая сторона десятиугольника стягивает дугу \(36^\circ\), поэтому хорды \(M_1M_3\), \(M_3M_5\), \(M_5M_7\), \(M_7M_9\), \(M_9M_1\) стягивают дуги по \(72^\circ\) и, значит, равны. Каждый угол пятиугольника — вписанный и опирается на дугу \(3 \cdot 72^\circ = 216^\circ\), поэтому все углы равны \(108^\circ\). Пятиугольник \(M_1M_3M_5M_7M_9\) — правильный и вписан в данную окружность.
Ответ
Правильный пятиугольник — вершины M₁, M₃, M₅, M₇, M₉ вписанного правильного десятиугольника.
Почему так
Вершины правильного десятиугольника, взятые через одну, делят окружность на пять равных дуг по 72°.
Подробнее — в теме «Построение правильных многоугольников».