Задача 1
К главе XIII. В данную окружность вписать пятиконечную звезду.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\). Построить: вписанную в неё правильную пятиконечную звезду.
Построение.
- Впишем в окружность правильный пятиугольник \(P_1P_2P_3P_4P_5\) (задача 1403).
- Проведём его диагонали в порядке обхода через одну вершину: \(P_1P_3\), \(P_3P_5\), \(P_5P_2\), \(P_2P_4\), \(P_4P_1\). Замкнутая ломаная \(P_1P_3P_5P_2P_4P_1\) — искомая звезда.
Обоснование. Вершины пятиугольника делят окружность на пять дуг по \(72^\circ\). Каждый отрезок ломаной соединяет вершины через одну, то есть стягивает дугу \(144^\circ\); значит, все пять отрезков равны. Угол при каждом конце звезды — вписанный и опирается на дугу \(72^\circ\) (между двумя соседними с противоположной стороны вершинами), поэтому все пять углов звезды равны \(36^\circ\). Звезда вписана в окружность: все её вершины лежат на ней.
Ответ
Диагонали правильного пятиугольника, проведённые через одну вершину, образуют правильную звезду с равными лучами и углами по 36°.
Подробнее — в теме «Построение правильных многоугольников».