Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIII. M — произвольная точка внутри правильного n-угольника. Доказать, что сумма перпендикуляров из M к прямым, содержащим стороны, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
Решение
Дано: правильный \(n\)-угольник \(A_1A_2\ldots A_n\) со стороной \(a\), \(r\) — радиус вписанной окружности, \(M\) — точка внутри него, \(h_1, h_2, \ldots, h_n\) — длины перпендикуляров из \(M\) к прямым \(A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_nA_1\). Доказать: \(h_1 + h_2 + \ldots + h_n = nr\).
- Посчитаем площадь \(S\) многоугольника двумя способами. Первый способ: соединим центр \(O\) с вершинами. Получим \(n\) равных треугольников с основанием \(a\) и высотой \(r\) (радиус вписанной окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне). Поэтому \(S = n \cdot \dfrac12 a r\).
- Второй способ: соединим точку \(M\) с вершинами. Правильный многоугольник выпуклый, а \(M\) лежит внутри него, поэтому он разбивается на \(n\) треугольников \(MA_1A_2, MA_2A_3, \ldots, MA_nA_1\) без наложений. У треугольника \(MA_iA_{i+1}\) основание \(a\), а высота, проведённая к нему, — перпендикуляр \(h_i\). Значит, \(S = \dfrac12 a h_1 + \dfrac12 a h_2 + \ldots + \dfrac12 a h_n = \dfrac12 a\,(h_1 + \ldots + h_n)\).
- Приравниваем: \(\dfrac12 a\,(h_1 + \ldots + h_n) = \dfrac12 a\,nr\), откуда \(h_1 + h_2 + \ldots + h_n = nr\).
Сумма не зависит от положения точки \(M\) внутри многоугольника.
Ответ
Утверждение доказано: из S = ½a(h₁ + … + hₙ) = ½a·nr получаем h₁ + … + hₙ = nr.
Почему так
Площадь правильного многоугольника складывается из треугольников с вершиной M так же, как из треугольников с вершиной в центре, а основания у всех треугольников равны.
Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».