Задание 1406

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = 2\alpha\), \(\angle C = 4\alpha\); \(A_3, B_3, C_3\) — середины сторон \(BC, CA, AB\); \(A_1, B_1, C_1\) — основания высот, проведённых из \(A, B, C\) (на прямых \(BC, CA, AB\)). Доказать: эти шесть точек — шесть вершин правильного семиугольника.

1. \(\alpha + 2\alpha + 4\alpha = 180^\circ\), поэтому \(\alpha = \dfrac{180^\circ}{7}\). Треугольник неравносторонний, и по задаче 918 (у неравностороннего треугольника основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих точку пересечения прямых, содержащих высоты, с вершинами, лежат на одной окружности) все шесть точек лежат на одной окружности \(\omega\) — окружности, описанной около треугольника \(A_3B_3C_3\).
2. Средние линии делят треугольник на четыре равных, поэтому углы треугольника \(A_3B_3C_3\) равны: \(\angle A_3 = \alpha\), \(\angle B_3 = 2\alpha\), \(\angle C_3 = 4\alpha\). По теореме о вписанном угле точки \(A_3, B_3, C_3\) делят \(\omega\) на дуги \(B_3C_3 = 2\alpha\), \(C_3A_3 = 4\alpha\), \(A_3B_3 = 8\alpha\) (дуга, не содержащая третьей точки, вдвое больше противолежащего угла).
3. Введём единицу \(u = 2\alpha = \dfrac{360^\circ}{7}\). Отметим положения точек на \(\omega\) угловой координатой (поворот от \(B_3\) в направлении к \(C_3\), в единицах \(u\), по модулю 7): \(B_3 = 0\), \(C_3 = 1\), \(A_3 = 1 + 2 = 3\); дуга \(A_3B_3\) замыкает круг: \(3 + 4 = 7 \equiv 0\).
4. Основание высоты \(A_1\) и середина \(A_3\) лежат на прямой \(BC\), а средняя линия \(B_3C_3 \parallel BC\). У двух параллельных хорд окружности общий серединный перпендикуляр — диаметр, перпендикулярный им; симметрия относительно этого диаметра переводит \(\omega\) в себя и меняет местами концы каждой хорды. Значит, точка \(A_1\) симметрична \(A_3\) относительно того же диаметра, что переставляет \(B_3\) и \(C_3\). Симметрия относительно диаметра в угловой координате — это \(\theta \to s - \theta\), а так как она переводит \(0\) в \(1\), то \(s = 0 + 1 = 1\). Отсюда \(A_1 = 1 - 3 = -2 \equiv 5\).
5. Аналогично \(B_1, B_3 \in CA\), \(C_3A_3 \parallel CA\): \(B_1 = C_3 + A_3 - B_3 = 1 + 3 - 0 = 4\). И \(C_1, C_3 \in AB\), \(A_3B_3 \parallel AB\): \(C_1 = A_3 + B_3 - C_3 = 3 + 0 - 1 = 2\). (Формулы верны и для тупоугольного треугольника, когда основания высот лежат на продолжениях сторон.)
6. Итак, шесть точек занимают на \(\omega\) положения \(0, 1, 2, 3, 4, 5\) (в единицах \(u = \dfrac{360^\circ}{7}\)) — все разные. Точки окружности с координатами \(0, 1, \ldots, 6\) — вершины правильного вписанного семиугольника (они делят окружность на 7 равных дуг). Наши точки — шесть из них.