Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIII. ABCD — квадрат, A₁B₁C₁ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Доказать, что AB + A₁B₁ равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.
Решение
Дано: квадрат \(ABCD\) и правильный треугольник \(A_1B_1C_1\) вписаны в окружность радиуса \(R\). Доказать: \(|AB + A_1B_1 - \pi R| < 0{,}01R\).
- Сторона вписанного квадрата \(a_4 = R\sqrt2\), сторона вписанного правильного треугольника \(a_3 = R\sqrt3\) (формула \(a_n = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}\)). Значит, \(AB + A_1B_1 = (\sqrt2 + \sqrt3)R\). Длина полуокружности равна \(\pi R\).
- Оценим корни: \(1{,}4142^2 = 1{,}99996... < 2 < 1{,}4143^2 = 2{,}00024...\), поэтому \(1{,}4142 < \sqrt2 < 1{,}4143\); \(1{,}7320^2 = 2{,}99982... < 3 < 1{,}7321^2 = 3{,}00017...\), поэтому \(1{,}7320 < \sqrt3 < 1{,}7321\). Складывая, \(3{,}1462 < \sqrt2 + \sqrt3 < 3{,}1464\).
- Число \(\pi\) заключено между \(3{,}1415\) и \(3{,}1416\). Поэтому разность \(\sqrt2 + \sqrt3 - \pi\) больше \(3{,}1462 - 3{,}1416 = 0{,}0046\) и меньше \(3{,}1464 - 3{,}1415 = 0{,}0049\).
- Значит, \(0 < AB + A_1B_1 - \pi R < 0{,}0049R < 0{,}01R\): сумма сторон равна длине полуокружности с точностью до \(0{,}01R\) (точнее, она длиннее примерно на \(0{,}0047R\)).
Ответ
Утверждение доказано: AB + A₁B₁ = (√2 + √3)R ≈ 3,1463R, а πR ≈ 3,1416R; разность меньше 0,005R < 0,01R.
Почему так
Стороны вписанных квадрата и правильного треугольника равны R√2 и R√3, а √2 + √3 ≈ 3,146 отличается от π меньше чем на 0,005.
Подробнее — в теме «Длина окружности».