Задание 1410

Дано: концентрические окружности с центром \(O\) и радиусами \(R > r\). Построить: окружность, ограничивающую круг площади \(\pi R^2 - \pi r^2\).

Искомый радиус \(\rho\) удовлетворяет \(\pi\rho^2 = \pi(R^2 - r^2)\), то есть \(\rho = \sqrt{R^2 - r^2}\) — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\) и катетом \(r\).

Построение.

1. Проведём радиус \(OM\) меньшей окружности.
2. Через \(M\) проведём прямую, перпендикулярную \(OM\) (касательную к меньшей окружности); она пересечёт большую окружность в точке \(P\).
3. Проведём окружность с центром \(M\) и радиусом \(MP\) (или с центром в любой точке тем же радиусом).

Обоснование. В прямоугольном треугольнике \(OMP\) гипотенуза \(OP = R\), катет \(OM = r\), поэтому \(MP^2 = R^2 - r^2\). Площадь круга радиуса \(MP\) равна \(\pi(R^2 - r^2)\) — площади кольца.

Дано: полукруг с центром \(O\) радиуса \(R\). Построить: окружность, ограничивающую круг площади \(\dfrac{\pi R^2}{2}\).

Искомый радиус: \(\pi\rho^2 = \dfrac{\pi R^2}{2}\), то есть \(\rho = \dfrac{R}{\sqrt2} = \dfrac{R\sqrt2}{2}\) — половина диагонали квадрата со стороной \(R\) (или половина стороны вписанного квадрата).

Построение.

1. Пусть \(A\) — конец диаметра полукруга. Построим радиус \(OB \perp OA\) (перпендикуляр к диаметру в центре \(O\) до пересечения с полуокружностью).
2. Проведём хорду \(AB\) и построим её середину \(M\).
3. Проведём окружность с центром \(O\) радиуса \(OM\).

Обоснование. Треугольник \(AOB\) прямоугольный равнобедренный, \(AB = R\sqrt2\), а медиана \(OM\), проведённая к гипотенузе, равна её половине: \(OM = \dfrac{R\sqrt2}{2}\). Площадь круга радиуса \(OM\) равна \(\pi \cdot \dfrac{2R^2}{4} = \dfrac{\pi R^2}{2}\) — площади полукруга.

Дано: круговой сектор радиуса \(R\) с дугой \(60^\circ\). Построить: окружность, ограничивающую круг площади \(\dfrac{\pi R^2 \cdot 60}{360} = \dfrac{\pi R^2}{6}\).

Искомый радиус: \(\pi\rho^2 = \dfrac{\pi R^2}{6}\), то есть \(\rho^2 = R \cdot \dfrac{R}{6}\) — \(\rho\) есть среднее пропорциональное отрезков \(R\) и \(\dfrac R6\).

Построение.

1. На луче отложим отрезок \(XY = R\) (радиус сектора) и разделим его на 6 равных частей (через \(X\) проводим вспомогательный луч, откладываем на нём 6 равных отрезков и проводим параллельные прямые — теорема Фалеса). Получим отрезок \(YZ = \dfrac R6\) — его отложим на продолжении \(XY\) за точку \(Y\).
2. На отрезке \(XZ = R + \dfrac R6\) как на диаметре построим полуокружность.
3. В точке \(Y\) восставим перпендикуляр к \(XZ\) до пересечения с полуокружностью в точке \(T\).
4. Проведём окружность с центром \(Y\) радиуса \(YT\).

Обоснование. Угол \(XTZ\) опирается на диаметр, поэтому прямой, а \(TY\) — высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе. Она равна среднему пропорциональному отрезков гипотенузы: \(YT^2 = XY \cdot YZ = R \cdot \dfrac R6 = \dfrac{R^2}{6}\). Площадь круга радиуса \(YT\) равна \(\dfrac{\pi R^2}{6}\) — площади сектора.