Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIV. При движении g точка A отображается в точку B, а точка B — в точку A. Доказать, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.
Решение
Дано: движение \(g\), \(g(A) = B\), \(g(B) = A\), \(A \ne B\). Доказать: \(g\) — центральная симметрия или осевая симметрия.
- Пусть \(O\) — середина \(AB\), \(l\) — серединный перпендикуляр к \(AB\). Центральная симметрия \(Z\) с центром \(O\) и осевая симметрия \(S\) относительно \(l\) обе переводят \(A\) в \(B\) и \(B\) в \(A\).
- Возьмём точку \(P\), не лежащую на прямой \(AB\), и пусть \(P' = g(P)\). Движение сохраняет расстояния, поэтому \(P'A = g(P)g(B) = PB\) и \(P'B = g(P)g(A) = PA\).
- Точек \(X\) с \(XA = PB\) и \(XB = PA\) не больше двух: это общие точки окружностей с центрами \(A\) и \(B\) радиусов \(PB\) и \(PA\), а две окружности с разными центрами имеют не более двух общих точек. Точки \(Z(P)\) и \(S(P)\) этим условиям удовлетворяют (так как \(Z\) и \(S\) — движения, меняющие \(A\) и \(B\) местами). Они различны: \(Z(P)\) и \(S(P)\) симметричны относительно прямой \(AB\) (композиция симметрий относительно перпендикулярных прямых \(l\) и \(AB\) — центральная симметрия с центром \(O\)), и совпасть могли бы только на прямой \(AB\), а \(Z(P)\) лежит на \(AB\) лишь при \(P \in AB\). Значит, \(P' = Z(P)\) или \(P' = S(P)\).
- Если \(P' = Z(P)\), то движения \(g\) и \(Z\) отображают точки \(A, B, P\), не лежащие на одной прямой, в одни и те же точки \(B, A, P'\). По задаче 1248 (существует не более одного движения, при котором три данные точки отображаются в три данные точки) такое движение единственно, значит, \(g = Z\) — центральная симметрия.
- Если \(P' = S(P)\), то так же \(g = S\) — осевая симметрия относительно серединного перпендикуляра к \(AB\).
Ответ
Утверждение доказано: g — симметрия относительно середины AB или относительно серединного перпендикуляра к AB.
Почему так
Образ третьей точки P может быть только одним из двух образов P при этих двух симметриях, а движение определяется образами трёх точек, не лежащих на одной прямой.
Подробнее — в теме «Понятие движения».