Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIV. Даны равные отрезки AB и A₁B₁. Доказать, что существуют два и только два движения, при которых точки A и B отображаются соответственно в A₁ и B₁.
Решение
Дано: \(AB = A_1B_1\). Доказать: движений \(f\) с \(f(A) = A_1\), \(f(B) = B_1\) ровно два.
- Построим по разные стороны от прямой \(AB\) точки \(C\) и \(C'\) так, что треугольники \(ABC\) и \(ABC'\) — равнобедренные прямоугольные с прямыми углами при \(A\) (\(AC = AC' = AB\)); \(C'\) симметрична \(C\) относительно \(AB\). Построим также точку \(C_1\), для которой \(A_1B_1C_1\) — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом \(A_1\), и симметричную ей относительно \(A_1B_1\) точку \(C_1'\).
- Существование. Треугольники \(ABC\), \(ABC'\) и \(A_1B_1C_1\) равны по двум катетам. По задаче 1249 (если \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(CA = C_1A_1\), то существует движение, и притом только одно, переводящее \(A\), \(B\), \(C\) в \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\)) существуют движение \(f_1\), переводящее \(A, B, C\) в \(A_1, B_1, C_1\), и движение \(f_2\), переводящее \(A, B, C'\) в \(A_1, B_1, C_1\). Они различны: \(f_2(C') = C_1\), а \(C \ne C'\), поэтому \(f_2(C) \ne C_1 = f_1(C)\).
- Других нет. Пусть \(g\) — движение с \(g(A) = A_1\), \(g(B) = B_1\). Точка \(g(C)\) находится на расстояниях \(AC\) от \(A_1\) и \(BC\) от \(B_1\). Таких точек две — \(C_1\) и \(C_1'\) (общие точки двух окружностей с центрами \(A_1\) и \(B_1\)). Так же \(g(C')\) — одна из них, причём \(g(C) \ne g(C')\).
- Если \(g(C) = C_1\), то \(g\) и \(f_1\) одинаково отображают точки \(A, B, C\), не лежащие на одной прямой, и по задаче 1248 (движение, отображающее три данные точки в три данные точки, не более чем одно) \(g = f_1\). Если \(g(C) = C_1'\), то \(g(C') = C_1\), и по той же причине \(g = f_2\).
Итак, движений ровно два (одно из них получается из другого композицией с симметрией относительно прямой \(A_1B_1\)).
Ответ
Утверждение доказано: таких движений ровно два — f₁ (C → C₁) и f₂ (C′ → C₁).
Почему так
Образ третьей точки C может быть лишь одной из двух точек, симметричных относительно A₁B₁, а движение однозначно задаётся образами трёх точек.
Подробнее — в теме «Понятие движения».