Задание 1413

Дано: параллелограммы \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\), их диагонали пересекаются в точках \(O\) и \(O_1\); \(AC = A_1C_1\), \(BD = B_1D_1\), углы между диагоналями равны. Доказать: параллелограммы равны.

1. Углы \(\angle A_1O_1B_1\) и \(\angle A_1O_1D_1\) смежные, и один из них равен \(\angle AOB\) (угол между диагоналями равен либо \(\angle AOB\), либо смежному с ним). Если нужно, поменяем обозначения \(B_1\) и \(D_1\) (это тот же параллелограмм, обойдённый в другом направлении); тогда \(\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB\).
2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{A_1C_1}{2} = O_1A_1\), \(OB = \dfrac{BD}{2} = O_1B_1\). Треугольники \(AOB\) и \(A_1O_1B_1\) равны по двум сторонам и углу между ними.
3. У равных треугольников равны и третьи стороны, поэтому по задаче 1249 (для треугольников с соответственно равными сторонами существует движение, переводящее вершины одного в соответствующие вершины другого) существует движение \(g\), переводящее \(A, O, B\) в \(A_1, O_1, B_1\).
4. Движение отображает отрезок на отрезок и сохраняет расстояния, поэтому середина отрезка переходит в середину его образа. \(O\) — середина \(AC\), значит, \(O_1 = g(O)\) — середина отрезка \(A_1\,g(C)\), то есть \(g(C)\) — точка, симметричная \(A_1\) относительно \(O_1\), а это \(C_1\). Так же \(g(D) = D_1\).
5. Движение переводит стороны \(AB, BC, CD, DA\) в отрезки \(A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1\), то есть параллелограмм \(ABCD\) — в параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\). Фигуры, одна из которых переводится в другую движением (наложением), равны.