Задача 1
Условие (кратко)
К главе XIV. Доказать, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
Решение
Дано: трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) с основаниями \(AB \parallel DC\), \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\), \(AB > DC\); \(AB = A_1B_1\), \(DC = D_1C_1\), \(AD = A_1D_1\), \(BC = B_1C_1\). Доказать: трапеции равны.
- На отрезке \(AB\) отложим \(AE = DC\) (это можно, так как \(AB > DC\)), на \(A_1B_1\) — \(A_1E_1 = D_1C_1\). Отрезки \(AE\) и \(DC\) параллельны, равны и одинаково направлены, поэтому \(AECD\) — параллелограмм и \(EC = AD\). Так же \(E_1C_1 = A_1D_1\).
- В треугольниках \(BCE\) и \(B_1C_1E_1\): \(BE = AB - DC = B_1E_1\), \(EC = AD = E_1C_1\), \(BC = B_1C_1\). Они равны по трём сторонам, значит, \(\angle CBE = \angle C_1B_1E_1\). Точка \(E\) лежит на луче \(BA\), поэтому \(\angle ABC = \angle A_1B_1C_1\).
- Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\)). У равных треугольников равны и третьи стороны (\(AC = A_1C_1\)), поэтому по задаче 1249 (для треугольников с соответственно равными сторонами существует движение, переводящее вершины одного в соответствующие вершины другого) существует движение \(g\), переводящее \(A, B, C\) в \(A_1, B_1, C_1\).
- Движение отображает отрезок \(AB\) на отрезок \(A_1B_1\) с сохранением расстояний, поэтому точка \(E\) (\(AE = DC\)) переходит в \(E_1\). Середина \(M\) отрезка \(AC\) переходит в середину \(M_1\) отрезка \(A_1C_1\). В параллелограмме \(AECD\) точка \(M\) — середина и диагонали \(ED\), поэтому \(g(D)\) — точка, симметричная \(E_1\) относительно \(M_1\), то есть вершина \(D_1\) параллелограмма \(A_1E_1C_1D_1\).
- Значит, \(g\) переводит вершины \(A, B, C, D\) в \(A_1, B_1, C_1, D_1\), а стороны трапеции — в стороны другой трапеции. Трапеции равны.
Ответ
Утверждение доказано: из равенства △BCE и △B₁C₁E₁ следует ∠B = ∠B₁, и движение, совмещающее △ABC с △A₁B₁C₁, совмещает трапеции.
Почему так
Отрезок, параллельный боковой стороне, отсекает треугольник с известными тремя сторонами; отсюда равны углы при основании, и движение совмещает трапеции.
Подробнее — в теме «Понятие движения».