Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1415

Условие (кратко)

К главе XIV. Доказать, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ , $$AC = A_1C_1 = b$$ , $$AB = A_1B_1 = c$$ , $b \ne c$ , $\angle B - \angle C = \angle B_1 - \angle C_1 = \delta$ . Доказать: треугольники равны.

Пусть, для определённости, $$b > c$$ . Против большей стороны лежит больший угол, поэтому $\angle B > \angle C$ и $\delta > 0$ ; угол $$C$$ острый.
Проведём высоту $$AH$$ ( $$H$$ на прямой $$BC$$ ) и рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $$AH$$ . Она переводит прямую $$BC$$ в себя, а точку $$B$$ — в точку $$B'$$ этой прямой с $$HB' = HB$$ ; $$AB' = AB = c$$ . Так как $$HB^2 = c^2 - AH^2 < b^2 - AH^2 = HC^2$$ , то $$HB < HC$$ и $B' \ne C$ .
Найдём $\angle B'AC$ . Если угол $$B$$ острый, $$H$$ лежит между $$B$$ и $$C$$ , $$B'$$ — на отрезке $$HC$$ , и $\angle AB'C = 180^\circ - \angle AB'H = 180^\circ - \angle B$ . Если угол $$B$$ тупой, $$H$$ лежит на продолжении $$CB$$ за $$B$$ , $$B'$$ — дальше от $$C$$ , чем $$H$$ , и $\angle AB'C = \angle AB'H = \angle ABH = 180^\circ - \angle B$ . В обоих случаях из треугольника $$AB'C$$ : $\angle B'AC = 180^\circ - (180^\circ - \angle B) - \angle C = \delta$ . Если угол $$B$$ прямой, то $$B' = B = H$$ и $\angle BAC = 90^\circ - \angle C = \delta$ .
То же построение во втором треугольнике (высота $$A_1H_1$$ , точка $$B_1'$$ ) даёт $$A_1B_1' = c$$ , $$A_1C_1 = b$$ , $\angle B_1'A_1C_1 = \delta$ . Треугольники $$AB'C$$ и $$A_1B_1'C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними, и по задаче 1249 (для треугольников с соответственно равными сторонами — а у равных треугольников равны все стороны — существует движение, переводящее вершины одного в соответствующие вершины другого) существует движение $$g$$ , переводящее $$A, B', C$$ в $$A_1, B_1', C_1$$ .
Движение переводит прямую $$B'C$$ в прямую $$B_1'C_1$$ и сохраняет расстояния; $$H$$ — ближайшая к $$A$$ точка прямой $$B'C$$ , поэтому $$g(H)$$ — ближайшая к $$A_1$$ точка прямой $$B_1'C_1$$ , то есть $$H_1$$ .
Точка $$B$$ лежит на прямой $$B'C$$ , симметрична $$B'$$ относительно $$H$$ ( $$H$$ — середина $$BB'$$ ). Значит, $$g(B)$$ лежит на прямой $$B_1'C_1$$ и $$H_1$$ — середина отрезка $B_1'\,g(B)$ , то есть $$g(B)$$ симметрична $$B_1'$$ относительно $$H_1$$ , а это $$B_1$$ . (При прямом угле $$B$$ сразу $$B = B'$$ .)
Итак, $$g$$ переводит $$A, B, C$$ в $$A_1, B_1, C_1$$ , и треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.

Условие $b \ne c$ существенно: при $$b = c$$ разность углов равна нулю у любого равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $$b$$ .

Ответ

Утверждение доказано: симметрия относительно высоты AH сводит задачу к равенству треугольников AB′C и A₁B₁′C₁ с углом δ между сторонами b и c.

Почему так

Отразив вершину B относительно высоты AH, получаем треугольник AB′C, в котором угол при A равен разности углов B и C, а он задаётся двумя сторонами и углом между ними.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 1415

Задача 1