Задача 1
Условие (кратко)
Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
Решение
Дано: параллелограмм \(ABCD\); вершины параллелограмма \(KLMN\) лежат на его сторонах: \(K \in AB\), \(L \in BC\), \(M \in CD\), \(N \in DA\); \(O\) — точка пересечения диагоналей \(KM\) и \(LN\). Доказать: \(O\) — точка пересечения диагоналей \(ABCD\).
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(KM\) и середина \(LN\). Значит, при центральной симметрии \(Z\) с центром \(O\) точка \(K\) переходит в \(M\), а \(L\) — в \(N\).
- Центральная симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в ту же самую). Прямая \(AB\) проходит через \(K\), поэтому её образ — прямая, проходящая через \(M\) и параллельная \(AB\). Но через \(M\) проходит прямая \(CD \parallel AB\), а по аксиоме параллельных такая прямая единственна. Итак, \(Z\) переводит прямую \(AB\) в прямую \(CD\).
- Точно так же прямая \(BC\) проходит через \(L\) и переходит в прямую, проходящую через \(N\) и параллельную \(BC\), — в прямую \(AD\).
- Точка \(B\) — общая точка прямых \(AB\) и \(BC\), значит, её образ — общая точка их образов \(CD\) и \(AD\), то есть точка \(D\). Итак, \(O\) — середина отрезка \(BD\).
- Середина диагонали \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) — точка пересечения его диагоналей. Значит, точки пересечения диагоналей обоих параллелограммов совпадают.
Ответ
Утверждение доказано: симметрия относительно центра вписанного параллелограмма переводит B в D, поэтому его центр — середина BD.
Почему так
Центральная симметрия относительно центра одного параллелограмма переводит противоположные стороны другого друг в друга, а значит, и вершину B в вершину D.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».