Задание 1417

Дано: окружности \(\omega_1\), \(\omega_2\) и прямая \(l\). Построить: правильный \(\triangle ABC\), у которого \(A \in \omega_1\), \(B \in \omega_2\), а высота из \(C\) лежит на \(l\).

Анализ. В правильном треугольнике высота \(CH\) является и медианой, поэтому прямая \(CH\) — серединный перпендикуляр к \(AB\). Если \(CH\) лежит на \(l\), то точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно \(l\). Значит, \(B\) лежит на окружности \(\omega_1'\), симметричной \(\omega_1\) относительно \(l\), и на \(\omega_2\).

Построение.

1. Строим точку \(O_1'\), симметричную центру \(O_1\) окружности \(\omega_1\) относительно \(l\) (перпендикуляр из \(O_1\) на \(l\), на его продолжении откладываем равный отрезок). Строим окружность \(\omega_1'\) с центром \(O_1'\) и тем же радиусом.
2. Отмечаем точку \(B\) пересечения \(\omega_1'\) и \(\omega_2\), не лежащую на \(l\).
3. Строим точку \(A\), симметричную \(B\) относительно \(l\).
4. Окружности с центрами \(A\) и \(B\) радиуса \(AB\) пересекаются в двух точках; обе лежат на серединном перпендикуляре к \(AB\), то есть на \(l\). Любая из них — вершина \(C\).

Доказательство. \(A\) симметрична точке \(B \in \omega_1'\), поэтому \(A \in \omega_1\); \(B \in \omega_2\). \(AC = BC = AB\) — треугольник правильный, его высота из \(C\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), то есть на \(l\).

Исследование. Окружности \(\omega_1'\) и \(\omega_2\) могут не пересекаться, касаться или пересекаться в двух точках. Каждая их общая точка, не лежащая на \(l\), даёт отрезок \(AB\) и два треугольника (вершина \(C\) по одну или по другую сторону от \(AB\)). Поэтому решений 0, 2 или 4; точка пересечения на \(l\) решения не даёт (\(A\) совпала бы с \(B\)). Если \(\omega_1'\) совпадает с \(\omega_2\), решений бесконечно много.