Задание 1418

Дано: прямые \(a\) и \(b\), содержащие стороны \(OA\) и \(OB\) угла, пересекаются в недоступной точке \(O\); \(M \in b\). Построить: отрезок, равный \(OM\).

Анализ. При центральной симметрии с центром \(M\) прямая \(b\) (она проходит через \(M\)) переходит в себя, а прямая \(a\) — в параллельную ей прямую \(a'\). Точка \(O = a \cap b\) переходит в точку \(O' = a' \cap b\), причём \(MO' = MO\). Точка \(O'\) лежит на продолжении отрезка \(OM\) за точку \(M\), в доступной части чертежа.

Построение.

1. На доступной части прямой \(a\) отмечаем две точки \(P\) и \(Q\).
2. Проводим прямые \(PM\) и \(QM\) и откладываем на их продолжениях за точку \(M\) отрезки \(MP' = MP\) и \(MQ' = MQ\).
3. Проводим прямую \(P'Q'\) и отмечаем точку \(O'\) её пересечения с прямой \(b\).
4. Отрезок \(MO'\) — искомый.

Доказательство. \(P'\) и \(Q'\) симметричны \(P\) и \(Q\) относительно \(M\), поэтому прямая \(P'Q'\) — образ прямой \(a\) при этой симметрии. Образ точки \(O\) лежит на образах прямых \(a\) и \(b\), то есть на \(P'Q'\) и на \(b\), — это точка \(O'\). Центральная симметрия — движение, и \(M\) — середина \(OO'\), поэтому \(MO' = MO\).

Исследование. Прямая \(P'Q'\) параллельна \(a\), а \(a\) пересекает \(b\), поэтому \(P'Q'\) пересекает \(b\) ровно в одной точке. Задача всегда имеет единственное решение.