Задача 1
Даны две пересекающиеся окружности. Построить отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а середина совпадает с одной из точек пересечения окружностей.
Решение
Дано: окружности \(\omega_1\) (центр \(O_1\), радиус \(r_1\)) и \(\omega_2\) (центр \(O_2\)) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Построить: отрезок \(XY\), \(X \in \omega_1\), \(Y \in \omega_2\), с серединой \(A\).
Анализ. Если \(A\) — середина \(XY\), то \(X\) и \(Y\) симметричны относительно \(A\). Значит, \(Y\) лежит на окружности \(\omega_1'\), симметричной \(\omega_1\) относительно точки \(A\), и на \(\omega_2\).
Построение.
- На продолжении отрезка \(O_1A\) за точку \(A\) откладываем \(AO_1' = O_1A\) и проводим окружность \(\omega_1'\) с центром \(O_1'\) радиуса \(r_1\).
- Отмечаем точку \(Y\) пересечения \(\omega_1'\) и \(\omega_2\), отличную от \(A\).
- На продолжении отрезка \(YA\) за точку \(A\) откладываем \(AX = AY\). Отрезок \(XY\) — искомый.
Доказательство. \(X\) симметрична точке \(Y \in \omega_1'\) относительно \(A\), а \(\omega_1'\) симметрична \(\omega_1\), поэтому \(X \in \omega_1\); \(Y \in \omega_2\); \(A\) — середина \(XY\) по построению.
Исследование. Точка \(A\) лежит на \(\omega_1\), поэтому и на \(\omega_1'\) (центр симметрии переходит в себя), и на \(\omega_2\). Окружности \(\omega_1'\) и \(\omega_2\) касались бы в точке \(A\) (или совпали бы), только если бы точки \(O_1'\), \(A\), \(O_2\) лежали на одной прямой; тогда на одной прямой лежали бы \(O_1\), \(A\), \(O_2\), и данные окружности касались бы в точке \(A\), а они пересекаются в двух точках. Значит, \(\omega_1'\) и \(\omega_2\) имеют ровно одну общую точку \(Y \ne A\), и для выбранной точки \(A\) решение единственное. Взяв серединой вторую точку пересечения \(B\), получим ещё один отрезок.
Ответ
Концы отрезка с серединой A симметричны относительно A, поэтому один конец лежит на образе первой окружности при центральной симметрии.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».