Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 1420

Условие (кратко)

Построить треугольник по трём медианам.

Решение

Дано: отрезки $$m_a$$ , $$m_b$$ , $$m_c$$ . Построить: $\triangle ABC$ с медианами $$AA_1 = m_a$$ , $$BB_1 = m_b$$ , $$CC_1 = m_c$$ .

Анализ. Пусть $$O$$ — точка пересечения медиан, тогда $AO = \dfrac{2}{3}m_a$ , $OB_1 = \dfrac{1}{3}m_b$ , $OC = \dfrac{2}{3}m_c$ . Пусть $$O_1$$ — точка, симметричная $$O$$ относительно середины $$B_1$$ стороны $$AC$$ . Диагонали $$AC$$ и $$OO_1$$ четырёхугольника $$AOCO_1$$ делятся точкой $$B_1$$ пополам — это параллелограмм, поэтому $AO_1 = OC = \dfrac{2}{3}m_c$ , а $OO_1 = 2\,OB_1 = \dfrac{2}{3}m_b$ . Треугольник $$AOO_1$$ имеет стороны $\dfrac{2}{3}m_a$ , $\dfrac{2}{3}m_b$ , $\dfrac{2}{3}m_c$ — его можно построить.

Построение.

Делим каждый из отрезков $$m_a$$ , $$m_b$$ , $$m_c$$ на три равные части (по теореме Фалеса) и получаем отрезки $\dfrac{2}{3}m_a$ , $\dfrac{2}{3}m_b$ , $\dfrac{2}{3}m_c$ .
Строим треугольник $$AOO_1$$ : $AO = \dfrac{2}{3}m_a$ , $OO_1 = \dfrac{2}{3}m_b$ , $AO_1 = \dfrac{2}{3}m_c$ .
Отмечаем середину $$B_1$$ отрезка $$OO_1$$ и на продолжении $$AB_1$$ за $$B_1$$ откладываем $$B_1C = AB_1$$ .
На продолжении $$O_1O$$ за точку $$O$$ откладываем $$OB = OO_1$$ . Треугольник $$ABC$$ — искомый.

Доказательство. $$B_1$$ — середина $$AC$$ , поэтому $$BB_1$$ — медиана, и $BB_1 = BO + OB_1 = \dfrac{2}{3}m_b + \dfrac{1}{3}m_b = m_b$ . Точка $$O$$ делит медиану $$BB_1$$ в отношении $$2 : 1$$ , считая от вершины, значит, $$O$$ — точка пересечения медиан $\triangle ABC$ . Тогда медиана из $$A$$ равна $\dfrac{3}{2}AO = m_a$ . $$AOCO_1$$ — параллелограмм (диагонали делятся точкой $$B_1$$ пополам), поэтому $OC = AO_1 = \dfrac{2}{3}m_c$ , и медиана из $$C$$ равна $$m_c$$ . Точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ не лежат на одной прямой, так как $$A$$ не лежит на прямой $$OO_1$$ , содержащей $$B$$ и $$B_1$$ .

Исследование. Треугольник $$AOO_1$$ существует тогда и только тогда, когда каждый из отрезков $$m_a$$ , $$m_b$$ , $$m_c$$ меньше суммы двух других. При этом условии задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников), иначе решений нет.

Ответ

Строим треугольник со сторонами, равными 2/3 каждой медианы, затем достраиваем ABC центральной симметрией. Решение одно, если каждая медиана меньше суммы двух других.

Почему так

Точка, симметричная центроиду относительно середины стороны, даёт треугольник со сторонами, равными 2/3 медиан.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 1420

Задача 1