Задача 1
Построить трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.
Решение
Дано: отрезки \(a\) и \(b\) (основания, \(a > b\)), \(c\) и \(d\) (боковые стороны). Построить: трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB = a\), \(CD = b\) и боковыми сторонами \(BC = c\), \(AD = d\).
Анализ. Пусть трапеция построена. При параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{DC}\) (он сонаправлен с \(\overrightarrow{AB}\)) отрезок \(DA\) перейдёт в отрезок \(CE\), где \(E\) лежит на \(AB\) и \(AE = DC = b\), \(CE = DA = d\). Тогда \(EB = a - b\), и в треугольнике \(EBC\) известны все три стороны: \(a - b\), \(c\), \(d\).
Построение.
- Строим треугольник \(EBC\) со сторонами \(EB = a - b\), \(BC = c\), \(CE = d\).
- На продолжении отрезка \(BE\) за точку \(E\) откладываем \(EA = b\).
- Через \(C\) проводим прямую, параллельную \(AB\), и на ней от \(C\) в сторону, куда направлен вектор \(\overrightarrow{BA}\), откладываем \(CD = b\). \(ABCD\) — искомая трапеция.
Доказательство. \(AB = AE + EB = b + (a - b) = a\), \(CD = b\), \(BC = c\). Векторы \(\overrightarrow{EA}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны, поэтому \(AECD\) — параллелограмм и \(AD = EC = d\). \(CD \parallel AB\), а \(AD\) и \(BC\) не параллельны (иначе \(ABCD\) был бы параллелограммом и \(a = b\)), значит, \(ABCD\) — трапеция.
Исследование. Треугольник \(EBC\) существует, только если \(|c - d| < a - b < c + d\). Тогда трапеция единственна (с точностью до равенства); иначе решений нет. При \(a = b\) трапеции не существует.
Ответ
Параллельный перенос боковой стороны вдоль основания на длину меньшего основания даёт треугольник со сторонами a − b, c и d.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».