Задача 1
Даны точки A и B и две пересекающиеся прямые c и d. Построить параллелограмм ABCD так, чтобы вершины C и D лежали соответственно на прямых c и d.
Решение
Дано: точки \(A\), \(B\); прямые \(c\) и \(d\) пересекаются. Построить: параллелограмм \(ABCD\), \(C \in c\), \(D \in d\).
Анализ. В параллелограмме \(ABCD\) имеем \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), то есть \(C\) — образ \(D\) при параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{AB}\). Так как \(D \in d\), точка \(C\) лежит на образе \(d'\) прямой \(d\) при этом переносе и на прямой \(c\).
Построение.
- Строим прямую \(d'\) — образ прямой \(d\) при переносе на \(\overrightarrow{AB}\): берём на \(d\) точку \(P\), откладываем \(\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{AB}\) и проводим через \(P'\) прямую, параллельную \(d\).
- Отмечаем точку \(C = c \cap d'\).
- Через \(C\) проводим прямую, параллельную \(AB\), и откладываем \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\); точка \(D\) лежит на \(d\). \(ABCD\) — искомый параллелограмм.
Доказательство. \(C \in d'\), поэтому точка \(D\), для которой \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), лежит на \(d\). Из \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) следует \(DC \parallel AB\) и \(DC = AB\), значит, \(ABCD\) — параллелограмм, если \(C\) не лежит на прямой \(AB\).
Исследование. \(d' \parallel d\), а \(c\) пересекает \(d\), поэтому \(c\) пересекает \(d'\) ровно в одной точке \(C\). Если \(C\) не лежит на прямой \(AB\), задача имеет единственное решение; если \(C\) попала на прямую \(AB\), то и \(D\) лежит на ней, «параллелограмм» вырождается, и решений нет.
Ответ
Вершина C получается из D параллельным переносом на вектор AB, поэтому лежит на перенесённой прямой d.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».