Задача 1
Даны прямая, окружность и точка A, не лежащая на них. Построить квадрат ABCD так, чтобы вершина B лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.
Решение
Дано: прямая \(l\), окружность \(\omega\), точка \(A \notin l\), \(A \notin \omega\). Построить: квадрат \(ABCD\), \(B \in l\), \(D \in \omega\).
Анализ. В квадрате \(AB = AD\) и \(\angle BAD = 90^\circ\), поэтому \(D\) получается из \(B\) поворотом вокруг \(A\) на \(90^\circ\) (по или против часовой стрелки). Значит, \(D\) лежит на образе \(l'\) прямой \(l\) при таком повороте и на \(\omega\).
Построение (для одного направления поворота).
- Проводим \(AH \perp l\), \(H \in l\). Строим \(AH' \perp AH\), \(AH' = AH\) (поворот точки \(H\) на \(90^\circ\)).
- Через \(H'\) проводим прямую \(l' \perp AH'\) — это образ прямой \(l\) (поворот переводит прямую \(l \perp AH\) в прямую, перпендикулярную \(AH'\) и проходящую через \(H'\)).
- Отмечаем точку \(D\) пересечения \(l'\) и \(\omega\).
- Строим \(B\) — образ \(D\) при обратном повороте: \(AB \perp AD\), \(AB = AD\), в сторону \(l\); затем \(C\) — четвёртую вершину параллелограмма \(ABCD\) (через \(B\) прямая \(\parallel AD\), через \(D\) прямая \(\parallel AB\)).
Доказательство. \(D \in l'\), поэтому \(B\) — прообраз точки прямой \(l'\) — лежит на \(l\); \(AB = AD\), \(\angle BAD = 90^\circ\), значит, параллелограмм \(ABCD\) — квадрат.
Исследование. Для каждого из двух направлений поворота прямая \(l'\) и окружность \(\omega\) имеют 0, 1 или 2 общие точки. Две полученные прямые \(l'\) различны (лежат по разные стороны от \(A\) на расстоянии \(AH\)), и квадраты для разных направлений различны. Поэтому задача имеет от 0 до 4 решений.
Ответ
Вершина D квадрата — образ вершины B при повороте вокруг A на 90°, поэтому лежит на повёрнутой прямой.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».