Задача 1
В данный сектор вписать квадрат так, чтобы две его смежные вершины принадлежали дуге AB сектора, а две другие — соответственно радиусам OA и OB.
Решение
Дано: круговой сектор \(OAB\) с центральным углом \(\angle AOB < 180^\circ\). Построить: квадрат \(PQRS\), у которого \(P \in OA\), \(Q \in OB\), а \(R\) и \(S\) лежат на дуге \(AB\).
Анализ. Хорда \(RS\) и сторона \(PQ \parallel RS\) имеют общий серединный перпендикуляр, а он проходит через центр \(O\) (серединный перпендикуляр к хорде). Точки \(P\) и \(Q\) симметричны относительно этой прямой, значит, она — биссектриса \(m\) угла \(AOB\), и \(PQ \perp m\). Квадрат со стороной \(PQ \perp m\) и вершинами на сторонах угла при гомотетии с центром \(O\) переходит в такой же квадрат. Поэтому, как в задаче 2 п. 137, сначала строим квадрат, удовлетворяющий части условий, а затем гомотетией переводим его в искомый.
Построение.
- Строим биссектрису \(m\) угла \(AOB\). На радиусе \(OA\) берём произвольную точку \(P_1\), проводим через неё прямую, перпендикулярную \(m\), до пересечения с \(OB\) в точке \(Q_1\).
- На отрезке \(P_1Q_1\) строим квадрат \(P_1Q_1R_1S_1\), лежащий по другую сторону от \(P_1Q_1\), чем точка \(O\).
- Проводим луч \(OS_1\) до пересечения с дугой в точке \(S\).
- Через \(S\) проводим прямую, параллельную \(S_1P_1\), до пересечения с \(OA\) в точке \(P\), через \(P\) — прямую, параллельную \(P_1Q_1\), до пересечения с \(OB\) в точке \(Q\); через \(Q\) — прямую, параллельную \(Q_1R_1\), до пересечения с прямой \(SR \parallel S_1R_1\) в точке \(R\). \(PQRS\) — искомый квадрат.
Доказательство. Построенный квадрат \(PQRS\) — образ квадрата \(P_1Q_1R_1S_1\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k = \dfrac{OS}{OS_1}\), поэтому он квадрат, \(P \in OA\), \(Q \in OB\). Квадрат \(P_1Q_1R_1S_1\) симметричен относительно \(m\), значит, \(OR_1 = OS_1\) и \(OR = OS\): точка \(R\) тоже лежит на дуге. Лучи \(OS_1\) и \(OR_1\) проходят внутри угла \(AOB\) (стороны \(P_1S_1\) и \(Q_1R_1\) параллельны биссектрисе \(m\) и направлены от \(O\)), поэтому \(S\) и \(R\) лежат именно на дуге \(AB\). Наконец, \(\angle OPS = 180^\circ - \dfrac{1}{2}\angle AOB > 90^\circ\) — тупой, поэтому \(OP < OS = OA\): точка \(P\) лежит на радиусе, а не на его продолжении; так же и \(Q\).
Исследование. По анализу искомый квадрат обязан быть симметричен относительно \(m\) и гомотетичен построенному, поэтому при \(\angle AOB < 180^\circ\) задача всегда имеет единственное решение.
Ответ
Гомотетия с центром в вершине угла сохраняет условие «вершины на радиусах», поэтому вспомогательный квадрат достаточно растянуть до дуги.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».