Задание 1425

Дано: отрезки \(a\), \(m\), \(n\), \(m < n\). Построить: прямоугольник \(ABCD\), у которого \(AB = a\) и \(BC : AC = m : n\).

Анализ. Треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом \(B\), в нём катет \(BC\) и гипотенуза \(AC\) относятся как \(m : n\). Все прямоугольные треугольники с таким отношением катета к гипотенузе подобны (у них равны синусы, а значит, и острые углы \(A\)). Поэтому сначала строим прямоугольный треугольник с катетом \(m\) и гипотенузой \(n\), а затем подобный ему с катетом \(AB = a\).

Построение.

1. Строим прямой угол с вершиной \(B\). На одной его стороне откладываем \(BC_1 = m\); окружность с центром \(C_1\) радиуса \(n\) пересекает другую сторону в точке \(A_1\) (это возможно, так как \(n > m\)). Получили \(\triangle A_1BC_1\) с катетом \(m\) и гипотенузой \(n\).
2. На луче \(BA_1\) откладываем \(BA = a\). Через \(A\) проводим прямую, параллельную \(A_1C_1\), до пересечения с лучом \(BC_1\) в точке \(C\).
3. Через \(A\) проводим прямую, параллельную \(BC\), через \(C\) — прямую, параллельную \(AB\); их точка пересечения — \(D\). \(ABCD\) — искомый прямоугольник.

Доказательство. \(AC \parallel A_1C_1\), поэтому \(\triangle ABC \sim \triangle A_1BC_1\) (общий угол \(B\), соответственные углы при параллельных), и \(\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BC_1}{A_1C_1} = \dfrac{m}{n}\). \(ABCD\) — параллелограмм с прямым углом \(B\), то есть прямоугольник, \(AB = a\).

Исследование. При \(m < n\) окружность в шаге 1 всегда пересекает сторону угла, поэтому задача всегда имеет решение, и оно единственно (с точностью до равенства): угол \(A\) и сторона \(AB\) определяют прямоугольный треугольник \(ABC\).