Задание 1426

Дано: отрезки \(a\), \(m\), \(n\). Построить: ромб со стороной \(a\), диагонали которого относятся как \(m : n\).

Анализ. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения \(L\) пополам. Поэтому ромб \(PKP'K'\) разбивается на четыре равных прямоугольных треугольника, например \(\triangle PLK\) с гипотенузой \(PK = a\) и катетами \(PL : LK = m : n\). Такой треугольник подобен прямоугольному треугольнику с катетами \(m\) и \(n\).

Построение.

1. Строим прямоугольный треугольник \(POQ\) с прямым углом \(O\) и катетами \(PO = m\), \(OQ = n\).
2. На луче \(PQ\) откладываем \(PK = a\). Из \(K\) опускаем перпендикуляр \(KL\) на прямую \(PO\).
3. На продолжении \(PL\) за точку \(L\) откладываем \(LP' = PL\), на продолжении \(KL\) за точку \(L\) — \(LK' = KL\). \(PKP'K'\) — искомый ромб.

Доказательство. \(\triangle PLK \sim \triangle POQ\) (прямоугольные с общим острым углом \(P\)), поэтому \(\dfrac{PL}{LK} = \dfrac{PO}{OQ} = \dfrac{m}{n}\). Диагонали \(PP'\) и \(KK'\) четырёхугольника \(PKP'K'\) делятся точкой \(L\) пополам — это параллелограмм; они перпендикулярны — значит, ромб. Его сторона \(PK = a\), а диагонали \(PP' : KK' = 2PL : 2LK = m : n\).

Исследование. Построение выполнимо при любых \(a\), \(m\), \(n\); ромб определяется однозначно (с точностью до равенства), так как отношение катетов задаёт острый угол \(P\), а гипотенуза \(a\) — сам треугольник \(PLK\).