Задача 1
Условие (кратко)
В угол вписаны две окружности, одна касается сторон угла в точках M и N, другая — в точках P и Q. Доказать, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.
Решение
Дано: угол с вершиной \(O\); окружность \(\omega_1\) касается его сторон в точках \(M\) и \(N\), окружность \(\omega_2\) — в точках \(P\) и \(Q\); \(M\), \(P\) лежат на одной стороне угла, \(N\), \(Q\) — на другой. Прямая \(MQ\) вторично пересекает \(\omega_1\) в точке \(X\), а \(\omega_2\) — в точке \(Y\). Доказать: \(MX = QY\).
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(OM = ON\) и \(OP = OQ\). Поэтому \(MP = |OP - OM| = |OQ - ON| = NQ\).
- Точка \(Q\) лежит на прямой \(ON\), касающейся \(\omega_1\) в точке \(N\), и вне \(\omega_1\). По теореме о квадрате отрезка касательной (п. 136) для секущей \(QXM\): \(QN^2 = QX \cdot QM\).
- Точка \(M\) лежит на прямой \(OP\), касающейся \(\omega_2\) в точке \(P\). По той же теореме для секущей \(MYQ\): \(MP^2 = MY \cdot MQ\).
- Так как \(QN = MP\), то \(QX \cdot QM = MY \cdot MQ\), откуда \(QX = MY\).
- Обе точки пересечения секущей с окружностью лежат по одну сторону от внешней точки, поэтому \(X\) лежит на отрезке \(QM\) и \(MX = QM - QX\); так же \(Y\) лежит на отрезке \(MQ\) и \(QY = MQ - MY\). Значит, \(MX = QY\).
Ответ
Утверждение доказано: QX = MY по теореме о квадрате касательной, поэтому хорды MX и QY равны.
Почему так
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, а отрезки касательных MP и NQ между точками касания равны.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».